Matematikos mėgėjams. "Breaking news" arba Martynas yra išmestas iš aštuntojo dangaus prieangio

Kiekvieno keturlangio langelius sužymime 1 2 3 4 (nesvarbu kuriuo skaičiumi pradedame, svarbu kad butu eiliškumas ir visų skaičių po vieną, kaip pvz.: 2341 ar 4123) ir juos į 10x10 kvadratą sudėliojame taip, kad paėmę bet kurį jo langelį galėtume rasti keturlangį su juo ir horizontaliai ir vertikaliai. Gausime toki kvardara: 1234123412 2341234123 3412341234 4123412341 1234123412 2341234123 3412341234 4123412341 1234123412 2341234123, kuris atitinkamai persistumdys (1;1) koordinateę pakeitus kitu skaitmeniu. Jame jau yra visos įmanomos keturlangių vietos. Paskaičiuojame, kiek kokių skaitmenų jame yra: 1 – 25 2 – 26 3 – 25 4 – 24 Taigi matom, kad 25 pilnų keturlangių sudaryti negalime, taigi jais padengti 10x10 kvadrato taip pat neįmanoma.

Turiu įrodymą, bet jis ilgas - gal prie progos surašysiu detaliau: 1. Sprendžiant n x 10 nuo vienos kraštinės (stengiantis nepalikti tarpų), bet koks dalinis sprendinys, pilnai padengiantis 4 x 10 laukelių ties ta kraštine bei kažkiek šalia, transponuojant atskirus 4x4 fragmentus susiveda į pilną 4x10 padengimą "be išsikišimų". 2. Vadinasi, kiekvienas n x 10 uždavinys susiveda į (n-4) x 10. 3. 1 x 10, 2 x 10, 3 x 10 neturi sprendinių "be išsikišimų". 4. Išvada: sprendinius turi tik 4n x 10 pavidalo lentelės. 10 x 10 sprendimo neturi, bet 8 x 10, 12 x 10 turi.

... va: 1. Be tarpų padengti 10 langelių kraštinę galima tik dviem "pagaliukais" ir dviem 4x4 kvadratais (4x5 susiveda į "pagaliuką" ir kvadratą, arba penkis suglaustus pagaliukus ir t.t.) 1a. Atskiras atvejis - "|--|" arba "--||". Taip pat nesunkiai galima parodyti, kad bet koks n x 8 padengimas susiveda į bent vieną 4x4 blokelį, iš jo transponuojant galima gauti 4x8, iš šio - keturis 1x8. Taip neišvengiamai gauname 3x8 sritį, kuria užbaigiame pradinę 4x10. 2. Vadinasi, kaip beišdėstysim, sukiodami atskirus kvadratus (padengiamas plotas nesikeičia - vadinasi, ir galimo sprendinio nesugadiname), gausime 10 "pagaliukų". Tai yra pilnas 4x10 padengimas be išsikišimų. 3. Vadinasi, besukiodami bet kokio galimo sprendinio kvadratus, gauname 4x10 srities padengimą "be išsikišimų". 4. Iš to seka, kad n x 10 lentelė turi sprendinį tuomet ir tik tuomet, kai sprendinį turi (n-4) x 10 lentelė. 5. 2 x 10 sprendinio neturi, todėl ir 10 x 10 = (4+4+2) x 10 sprendinio neturi.

Nuspalvinkim tą 10 x 10 kvadratą kaip šachmatų lentą 2 x 2 dydžio juodais baltais kvadratėliais. Tuomet keturlangis stačiakampiukas (ir vertikalus ir horizontalus) padengs du juodus ir du baltus kvadrato langelius (kad ir kaip tuos stačiakampiukus bepadėtum). Tačiau juodų langelių yra 52, o baltų tik 48 (arba atvirkščiai, žiūrint kaip buvo spalvinta), todėl neįmanoma padengti 10 x 10 kvadrato keturlangiais stačiakampiukais.

po 50 langeliu o ne 52 ir 48

Spalvinant 2x2 kvadratėliais gaunasi 52 ir 48.

Įrodymas daug gražesnis už patį uždavinį.

aha, paskubejau ir neisigilinau i irodyma, idomiai irodei.

DzeiPi įdėja gera, bet įrodymas, manau, turėtų būti formuluojamas kitaip. Įrodymas turėtų skambėti taip: Nuspalvinkim tą 10 x 10 kvadratą kaip šachmatų lentą 2 x 2 dydžio juodais baltais kvadratėliais. Tuomet keturlangiai stačiakampiukai (tiek vertikalūs, tiek horizontalūs) padengs du juodus ir du baltus kvadrato langelius (kad ir kaip tuos stačiakampiukus bepadėtum). Tačiau juodų , todėl neįmanoma padengti 10 x 10 kvadrato keturlangiais stačiakampiukais.