Dar vienas Dr D. Zanevičiaus straipsnis. Šįkart jis siūlo racionaliau pažvelgti į eksponentinę funkciją ir rasti jai tinkamesnę vietą mūsų gyvenime. Ir čia nehiperbolizuojant.

Jūsų svetainėje perskaičius straipsnį „Ką reikėtų daryti, jei virš jūsų miesto sprogtų atominė bomba: norint išgyventi, tėra vos 15 minučių“, teko prisiminti ir anų laikų darbus.

Netiesinės difuzijos arba netiesinės karšto oro bangos fronto (pavyzdžiui po atominės bombos sprogimo) plėtros matematinis modelis.

Dirbant moksliniame tyrimo institute „Venta“, tarp daugybės mikroschemų gamybos technologinių procesų ypatingai svarbus buvo priemaišų difundavimas į silicį. Difuzijos, kaip priemaišų implantacijos matematiniai modeliai gerai žinomi ir detaliai išnagrinėti. Tai – tiesinės diferencialinės lygties su dalinėmis išvestinėmis sprendiniai.

\begin{align} \frac{d}{dt}N=D\frac{d^2}{dx^2}N \tag{1} \label{eq1} \end{align}

Lygties sprendinys yra:

\begin{align} N(x,t)=\frac{M}{\sqrt{4·D·t}}·e^{\frac{-x^2}{4·D·t}} \tag{2} \label{eq2} \end{align}

Kaip žinia, čia gaunamas garsusis nesprendžiamas integralas – Gauso paklaidos funkcija \(erf(x)\):

\begin{align} erf()=\frac{2}{\sqrt\pi}·\int_0^x e^{-t^2}\,dt \end{align}

Tiesinės lygties \((1)\) sprendimas \((2)\) pasižymi tuo, kad net trumpai \((t)\) vykdant difuziją, modelis \((2)\) rodo, kad net labai toli \((x)\), visada jau bus tam tikras priemaišų dydis \(N\). Šiame modelyje \((2)\) nėra priemaišų (arba šilumos) judėjimo fronto, kas praktikoje, – pvz. difuzijos, šilumos sklidimo atveju – labai svarbu. Atominės bombos sprogimo sukeltos karšto oro bangos sklidimo specialistai suprato, kad kaip visada ir būna, tiesiniai matematiniai modeliai nepaaiškina realiai gaunamo eksperimento. Todėl buvo pereita prie netiesinės diferencialinės lygties su dalinėmis išvestinėmis \([3]\). Tokios lygties sprendimas gerai atspindi karščio fronto judėjimą erdvėje ir laike. Skaičiuojant priemaišų difundavimo gylį, tai atrodė gan gerai. Pasinaudodami matematikų rastais sprendiniais, parašėme netiesinę difuzijos lygtį:

\begin{align}\frac{d}{dt}N=\frac{d}{dx}\left[D(N)·\left(\frac{d}{dx}N\right)\right] \tag{3} \label{eq3} \end{align}

Ir gavome jos sprendinį \([3]\).

\begin{align} N(x,t)=\frac{(x_0)^2}{6D_0t}·\left[1-\left[\frac{x^2}{(x_0)^2}\right]\right] \tag{4} \label{eq4} \end{align}

kur

\begin{align}x_0=\sqrt[3]{9·D_0·Q·t} \tag{5} \label{eq5} \end{align}

Priminsime mano darbuose \([1]\), \([2]\) pasiūlytas neohiperbolines funkcijas \(shph\) ir \(chph\).

\begin{array}{cc} gph=\large\frac{1}{1-h}\large;& gaph=\large\frac{1}{1+h}\large\\shph=\large\frac{gph-gaph}{2}\large;& chph=\large\frac{gph+gaph}{2}\large\\ shph=\large\frac{h}{1-h^2}\large;& chph=\large\frac{1}{1-h^2}\large\tag{6} \label{eq6} \end{array}

Tada

\begin{align}\frac{1}{chph}=schph=1-h^2 \tag{7} \label{eq7} \end{align}

Funkcija \(Schph\) \((7)\) yra funkcijos sekans chph išraiška \((6)\). Pačią algebrinę funkciją \((7)\) jau naudojo P.Chebyshev (1821 m. – 1894 m. Sant Peterburg) statistikos teorijoje ir ji vadinasi Chebyshev kreivė.

Vietoje \((4)\) galėsime parašyti:

\begin{align} N(x,t)=\frac{\left(x_0\right)^2}{6·D_0·t}·schp\left[\frac{x^2}{\left(x_0\right)^2}\right] \tag{8} \label{eq8} \end{align}

Kad galima būtų sulyginti funkcijas \((8)\) ir \((2)\), paimsime šiek tiek apibendrintas išraiškas, atmetę kiekvienos medžiagos specifinius parametrus.

\begin{align}y=\left(1-\frac{x^2}{\Psi^2}\right) \tag{9} \label{eq9} \end{align}

Ir

\begin{align}y=e^{\large{\frac{-x^2}{2}}\large} \tag{10} \label{eq10} \end{align}

Bangos fronto išraiška:

\begin{align}x_f=\sqrt[3]{9D_0·Q·t} \tag{11} \label{eq11} \end{align}

Kaip „gimdomos“ funkcijos matematikoje?

Matematikoje priimta, kad funkcijos apibrėžimas duodamas keliais būdais: geometriniu, analitiniu arba begaline eilute. Bene populiariausias yra geometrinis. Tai „kūgio pjūvio“ („conic section”) metodas. Metodas buvo pasiūlytas dar 200 m.pr.m.e. ir paremtas kūgio sukirtimu su plokštuma. Tokiu būdų gaunamas apskritimas, elipsė, hiperbolė ir parabolė.

Šveicarų matematikas bei fizikas Leonhard Euler (1707 m. – 1783 m.) pasiūlė funkcijas apibrėžti integralu (Eulerio integralas) ir eilute. Gimęs ir baigęs mokslus Šveicarijoje, Euleris daug metų dirbo Sankt Peterburge, kur 1730 m. jam buvo suteiktas fizikos profesoriaus vardas. Euleris pirmasis panaudojo terminą „funkcija“ ir pritaikė matematinius skaičiavimus fizikoje. Jo mokslinis palikimas – 850 darbų. Euleris pasiūlė funkcijas apibrėžti integralu:

\begin{align} x=\int\frac{1}{\eta(\epsilon)}d\epsilon \tag{12} \label{eq12} \end{align}

kur

\begin{align} \eta(\epsilon)=\sqrt{A_0+4A_1·\eta+6A_2·\eta^2+4A_3·\eta^3+A_4·\eta^4} \tag{13} \label{eq13} \end{align}

Keičiant koeficientų \(A\) reikšmes, galima gauti daugybę funkcijų. Panagrinėkime keletą iš jų. Priėmę

\begin{align} A_0=A_1=A_2=A_3=A_4=1 \end{align}

gausime

\begin{align} x=\int_0^y\frac{1}{(1+\epsilon)^2}d\epsilon=\frac{y}{1+y}=atpy \end{align}

\begin{align} y=\frac{x}{1-x}=tpx \end{align}

Panašiai gauname

\begin{align} x=\int_0^y\frac{1}{\epsilon^2}d\epsilon=1-\frac{1}{y}=agpy \end{align}

\begin{align} y=gpx=\frac{1}{1-x} \end{align}

Atsiradus integraliniam skaičiavimui, ilgą laiką nepavyko rasti integralo

\begin{align} S=\int\frac{1}{x}dx \end{align}

Tik 1686 m. N. Merkaturu surado būdą kaip apskaičiuoti integralą.

\begin{align} S=\int_1^z\frac{1}{x}dx=log_a·(z) \end{align}

Tarę, kad \(a=e\), kur \(e=2,718281828459\) \((14)\), gausime natūrinį logaritmą \(ln(z)\). Taip atsirado transcendentinis skaičius \((14)\) \(e\). Kaip žinia, funkcija \(e^x\) analitinės išraiškos neturi ir gali būti suskaičiuota tik išskleidus ją begaline eilute (kaip ir \(sin\)).

\begin{align} e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+… \tag{15} \label{eq15} \end{align}

Jeigu lygtyje yra funkcija \(e^x\), tai tokios lygties analitinis sprendimas dažnai būna neįmanomas. Ją galima suskaičiuoti kompiuteriu, naudojant skaitmeninius metodus.

Kokios funkcijos naudojamos matematikoje? Apžvalgoje \([3]\) pateikiamas matematikoje naudojamų funkcijų sąrašas. Funkcijos suskirstytos į 11 skyrių. Elementarių transcendentinių funkcijų grupei priskiriamos ir eksponentinės funkcijos. Kaip matome, eksponentinės funkcijos yra tik maža matematikoje naudojamų funkcijų grupė. Atskiras didelis skyrius yra „Algebrinės funkcijos“. Šiais laikais, kada pagrindinės pasaulio mokslo ir technologijų pajėgos bei finansai nukreipti į kosminę techniką ir robotus, lėktuvų ir raketų projektavimą ir gamybą, radikaliai keičiasi požiūris į mokslo misiją. Finansuojami (bent jau JAV) tik tie moksliniai darbai, kurie siekia aiškaus ir kam nors labai reikalingo praktinio tikslo. Tiesiog uždrausta finansuoti iš biudžeto mokslinius darbus, kurie yra įdomūs pačiam mokslui, o ne praktikai. Be to, tokia apibendrinanti veikla, kaip sistemų inžinerija, paprastai jau kalba ne apie funkcijas, o apie naujai kuriamų sistemų modeliavimo algoritmus. Patys algoritmai (o ne funkcijos), čia vertinami pagal tai, kaip tobulai modeliuoja visą sistemą. Kadangi sistemą sudaro daug elementų, tarpusavyje sujungtų sudėtingais (taip pat ir grįžtamaisiais) ryšiais, sistemų matematiniai modeliai jau yra matematinių lygčių sistema (pavyzdžiui lėktuvo kinetikos modelis). O analitinių sprendinių neturinčios, tik skaitmeniniu modeliavimu išsprendžiamos matematinės funkcijos labai apsunkina modeliavimą.

Eksponentę, kuri, kaip žinia, analitinės išraiškos neturi, reikėtu pristatyti kaip funkciją \((15)\). O ką tai reiškia praktikoje, kuriant sistemų matematinius modelius? Paimkime paprasčiausią, labai mažos sistemos – saulės elemento (SE) – matematinį modelį. Jų yra įvairaus sudėtingumo, bet paimkime vieną iš paprasčiausių – „vieno diodo“ – matematinį modelį

\begin{align} i=Ip-Ieo\left(e^{\large\frac{u+i·Rs}{\phi}\large}-1\right) \tag{16} \label{eq16} \end{align}

Reikia suskaičiuoti \(SE\) voltamperinę charakteristiką \(i=f(u)\).

Paprastai to atlikti negalima, kadangi transcendentinėje lygtyje \((16)\) ir srovė \(i\) ir įtampa \(u\) \(exp\) laipsnyje ir trupmenoje. Norint suskaičiuoti, reikia vietoje lygtyje \((16)\) esančios \(exp\) įstatyti \(exp\) išraišką \((15)\), tada bus aiškiau. Todėl tokios transcendentinės lygtys sprendžiamos specialiai tam sugalvotais skaitmeniniais algoritmais ir programomis.

Sandūros p-n voltamperinė charakteristika h-geometrijoje yra:

\begin{align}i=Io\frac{u}{\psi-u} \tag{17} \label{eq17} \end{align}

Parametras \(\psi\) atspindi viena iš svarbių p-n sandūros savybių – įtampa ant p-n sandūros visada būna mažesnė nei \(\psi\). Vietoje modelio \((16)\) naudojantis voltamperine charakteristika \((17)\), galima parašyti

\begin{align}i=Ip-Io\frac{u+i·Rs}{\psi-(u+u+i·Rs)}-\frac{u+i·Rs}{Rp} \tag{18} \label{eq18} \end{align}

Patvarkius iš \((18)\), gaunama

\begin{align}A·i^2-B·i+C=0 \tag{19} \label{eq19} \end{align}

Išsprendę algebrinę lygtį \((19)\), gausime

\begin{align}i=\frac{B-\sqrt{B^2-4AC}}{2A} \tag{20} \label{eq20} \end{align}

Surasti iš \((20)\) gautą voltamperinę charakteristiką paprasta, o tai labai svarbu praktikoje – eksploatuojant Saulės elektros stotis ir ieškant optimalaus sprendimo. Tą patvirtina ir laiškas iš Taivano \([6]\)

Dr. Donaldas Zanevičius.

Literatūra:

1. h–Geometrija. Neosinusų naudojimas skaičiavimuose.2007. Vilnius.

   Donaldas Zanevičius

2. h – Geometry.Neo-sines in space mechanics. 2010 Vilnius.

   Donaldas Zanevičius

3. Integralinių schemų sisteminio projektavimo teoriniai pagrindai.

   Lietuvos Mokslų Akademijos Puslaidininkių fizikos institutas. 1980 m. Vilnius.

4. List of mathematical functions

   https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_functions

5. The Calculation of Solar Cells with the Function of h-Geometry.

   Journal of Natural Sciences 1(1); June 2013 pp. 01-07;http://jnsnet.info/vol-1-no-1-june-2013-jns;Donaldas Zanevičius.

6. Dear Dr.Donaldas Zanevičius: I have downloaded and studied your honorable work.
   Thank you for your valuable information. Sincerely yours Huan-Lian Tsai.

   Da-Yeh University , Taiwan

   耑此
   敬頌　　時祺
   大葉大學工學院電機系
   副教授  蔡渙良  敬筆