Matematikos mėgėjams. „Dangaus futbolo“ peripetijos arba Martyno kelionė į penktąjį dangų

Na, šiandien nesu pilnai išmiegojęs, todėl jokių teorijų netaikiau. Pasimėginau su 6 komandom (A, B, C, D, E, F komandos). Su šešiomis tikrai įmanoma. Pavyzdys galėtų būti toks: A vs B laimi, A vs C lygiosios A vs D pralaimi, A vs E laimi, A vs F lygiosios. Iš viso dvi pergalės ir dvi lygiosios. B vs A pralaimi (matome aukščiau), B vs C laimi, B vs D lygiosios, B vs E ir B vs F pralaimi. Iš viso po vieną pergalę ir lygiasias. C vs A lygiosios (aukščiau), C vs B pralaimi (laimėjo B), C vs D laimi, C vs E lygiosios, C vs F laimi. Dvi pergalės ir dvi lygiosios. ... ). Na o su teoriniais įrodymais tegu paaiškina kas nors kitas. Jei po pietų nebus niekas išsprendęs, pamėginsiu dar ir kokią programėlę parašyt, kuri surastų galimą žaidimo pabaigą. p.s. Dabar pastebėjau, gal tai kam nors padės: pralaimėjimų skaičius bet kuriuo atveju (esant 6, 20 ar 30 komandų) turi būti nelyginis.

Na ką, jau mieguistumas dingo, todėl ir atsakymą radau. Vykusių rungtynių skaičius yra suma visų sveikųjų skaičių iki N, kur N - dalyvaujančių komandų skaičius. Pvz jei dalyvauja 2 komandos, tai rungtynės tik vienos, jei 3 komandos, tai rungtynių bus 3 ( 1 + 2 ) ir t.t. Rezultatų lentelėje yra dvigubas kiekis '1', '0' ir '-' simbolių nei vyko rungtynių. Imkim aukščiau mano pateiktą pavyzdį su 6 komandom. Vyko 15 rungtynių, lentelėje yra 30 simbolių. Pergalių ('1') ir pralaimėjimų ('-') kiekis vienodas. O pagal sąlygą, pergalių turi būti tiek pat, kiek ir lygiųjų, tai reiškia, kiekvieno simbolio lentelėje yra trečdalis. Čia ir slypi atsakymas. Jei rungtynių skaičius dalus iš 3, tada tenkinanti situacija gali tenkinti sąlygą. Kai komandų yra 6, rungtynių bus 15. Kai 20 - 190. 190 nedalus iš 3, todėl sąlygos patenkinti neįmanoma. Kai 30 - 435. 435 dalus iš 3, todėl galima situacija, kad kieviena komanda turės vienodą kiekį pergalių ir lygiųjų.

Žymėjimai: P - pergalė L - lygiosios B - beveik lygiosios Tarkim yra N komandų, tada: (1) Sum(P) + Sum(L) + Sum(B) = N * (N - 1). (Žaistų rungtynių skaičius) Futbole jei kažkas laimi, tai kitas pralaimi, todėl: (2) Sum(P) = Sum(B) Sąlyga reikalauja, kad galiotų P = L, todėl ir (3) Sum(P) = Sum(L) Iš čia (4) Sum(P) = Sum(L) = Sum(B) = X iš (1) ir (4) gaunam 3X = N * (N - 1). Vadinasi N arba N-1 turi būti 3 kartotinis. Matom, kad 6 tinka, 20 netinka, 30 tinka. Kadangi nesu didelis praktikas, tai 30x30 lentelės nebraižysiu

To Liolikas: jei komandu yra 6, tai kiekviena komanda suzaist turi po penkias rungtynes, tai pagal tavo skaiciavimus per penkias rungtynes niekaip neimanoma suzaist taip, kad L=P=B Klaidele yra stai kur: jei as islosiau, tai kazkas pralose, vadinasi lenteleje uzsipildo vienu L ir vienu B, o kai suzaidziu lygiosiomis, tai i lentele isiraso 2 kartus po L N*(N-1) - yra pilnos lenteles uzpildymas (4 komandos uzpildys lentele 12-a skaiciuku) ( N*(N-1) ) / 2 - yra zaistu rungtyniu skaicius (4 komandos suzais tik 6 rungtynes, nes jei as zaidziu su tavim, tai tau ir man po vienerias rungtynes, kas reikstu jog dvi rungtynes, nors reliai suzaistos tik vienerios rungtynes) Pataisom tavo skaiciavimus: 1) Sum(P) + Sum(L)+Sum(B) = (N*(N-1))/2; 2) Sum(P) = Sum(B); 3) pagal salyga L=P, tai Sum(P)=Sum(L); 4) Sum(P) = Sum(L) = Sum(B) = X is 1) ir 4) gauname, kad 3X = (N*(N-1))/2; isvada, kad X turi but N*(N-1) 6 kartotinis 6*5 = 30 (dalinasi is 6) 20*19 = 380 (nesidalina is 6) 30*29 = 870 (dalinasi is 6) Dviese iveikem

Tai ar gali būti, kad ir vėl absoliučiai kiekviena komanda būtų laimėjusi tiek pat kartų, kaip ir sužaidusi lygiosiomis? salyga galima suvokti dvejopai - salyga tenkinama kai: 1) jei viena komanda laimi 1-erias rungtynes ir 1 suzaidzia lygiomis, o pralaimi 4-urias, kita laimi 3 ir lygiom suzaidzia 3 2) visos komandos turi surinkt vienodai pergaliu ir lygiuoju, tarkim po 3

Niekur nerašiau, kad L=P=B. Sum(L)=Sum(P)=Sum(B), bet tik ne L=P=B. Aš tikriausiai neteisingai paaiškinau žymėjimus: Žymėjimai: P - vienos komandos pergalių skaičius L - vienos komandos lygiųjų skaičius B - vienos komandos beveik lygiųjų skaičius Dėl pataisymų: "1) Sum(P) + Sum(L)+Sum(B) = (N*(N-1))/2;" neteisinga, nes jei yra 2 komandos kurios susitiko vieną kartą ir viena jų laimėjo, tai pagal tamstos pataisymus 1+0+1=2*1/2= 1. Netinka. Teisinga lygybė yra Sum(P) + Sum(L)+Sum(B) = (N*(N-1)) nes skaičiuojam ne vienos komandos taškus, o visų jų.