Svei­ka­tos, moks­lo ir sa­ty­ros por­ta­las The Science Post pra­ne­ša, kad vie­na ne­ma­ža Sid­nė­jaus li­go­ni­nė (rim­tes­niu žar­go­nu – tre­ti­nio ly­gio svei­ka­tos prie­žiū­ros įstai­ga) skel­bia pla­nus pa­keis­ti me­di­ci­nos per­so­na­lą rū­pes­tin­gais su­per­tė­ve­liais ir su­per­ma­my­tė­mis, kva­li­fi­ka­ci­ją įgi­ju­sius in­ter­ne­to pla­ty­bė­se. Siau­riau kva­li­fi­kuo­tas me­di­ci­nos per­so­na­las į gat­vę iš­mes­tas ne­bus ir ga­lės to­liau dirb­ti ma­žiau pa­ža­n­gio­je svei­ka­tos prie­žiū­ros įstai­go­je.

Žinoma, ši „naujiena“ nėra tikra, bet ji atspindi gana realią problemą – pakankamai ilgas pasėdėjimas internete gali sudaryti vieno ar kito dalyko išmanymo iliuziją. Paradoksalu (ir kiek ironiška), kad parašiau ankstesnį sakinį, nors nesu diplomuotas psichologas. Tad, žinoma, negaliu garantuoti, kad taip ir yra, bet kadangi iš to rimtesnių išvadų nedarau, tai tiesiog paprašysiu patikėti manim. Juk ilgai, kiek daugiau nei 10 minučių, tyrinėjau šį fenomeną interneto platybėse (ten skaičiau apie Dunning-Kruger efektą, bet tekstas buvo sudėtingas, tad…)! Nesu ir farmacijos specialistas, kad galėčiau su jumis kalbėtis iš farmacinių technologijų perspektyvos. Esu fizikas ir mano pagrindinis interesas yra sudėtingų socialinių ir ekonominių sistemų modeliavimas, tad, be didesnės sąžinės graužaties, galiu su jumis šnekėti apie bendro pobūdžio matematinį modeliavimą ligų plitimo kontekste. Šiame tekste pristatysiu elementarų agentų modelį, kuriuo galima stebėti taip vadinamą „bandos imuniteto“ efektą.

Tekstą derėtų pradėti nuo modeliavimas agentais (angl. agent-based modeling) paaiškinimo. Čia labai tiktų viena gerai žinoma Džono fon Neimano citata, kurią galima būtų parafrazuoti, taip: „manantys, kad matematika sudėtinga, veikiausiai nelabai supranta koks sudėtingas realus gyvenimas“. Modeliuojant agentais, realūs žmonės (ar įmonės, ar gyvūnai, ar bet kas kita) pakeičiami apibendrintais agentais, turinčiais tik esmines realių žmonių (įmonių, gyvūnų, etc.) savybes. Kurios savybės esminės, svarbios, o į kurias galima dėmesio nekreipti, priklauso nuo to, ką ir kaip tiksliai norime modeliuoti.

Šiame tekste konstruosime ligų plitimo agentų modelį, kuriuo nagrinėsime vakcinavimo įtaką ligų plitimui. Tad, pirmiausia būtų logiška leisti agentams būti vakcinuotiems arba nevakcinuotiems. Ar agentas bus vakcinuotas ar ne, bus sprendžiama prieš pradedant modeliavimą. Tuo tarpu kitos trys agento būsenos vykstant modeliavimui kis – konkrečiu metu agentai galės būti sveiki (bet galintys užsikrėsti), užkrėsti (ir perduodantys užkratą) bei mirę. Šiuolaikinėje mokslinėje literatūroje nagrinėjamos ir kitos agentų būsenos, bet jos labiau susijusios su modeliuojamos ligos specifika (pvz., ne nuo visų ligų mirštama), nei su bendrais dalykais.

Taigi, ligos plitimo metu agentų vakcinavimo lygis liks pastovus. Agentų perėjimai tarp kitų trijų būsenų ligos plitimo metu vyks pagal žemiau išvardintas taisykles:

Tokios taisyklės modelio dinamikai suteiks įdomią savybę – agentai galės susirgti kelis kartus. Tikėtina, kad taip nutiks, nes agentai sirgs baigtinį laiką. Praėjus šiam laikui, agentas arba pasveiks arba numirs. Miręs jis iškris iš „žaidimo“, bet pasveikęs jis turės nenulinę tikimybę vėl užsikrėsti (žinoma, jei jo kaimynai dar gyvi). Taigi, prieš numirdamas, arba prieš sustojant ligos plitimui, agentas galės būti užsikrėtęs liga daugiau nei vieną kartą.

Aprašykime šias taisykles formaliai, naudodami perėjimo tikimybes. Iš pradžių apibrėžkime perėjimų tarp trijų būsenų tikimybes. Tegu p_hi žymi tikimybę sveikam agentui (angl. healthy) tapti užkrėstu agentu (angl. infected) dėl kontakto su vienu užkrėstu kaimynu. Atitinkamai p_ih žymėsime tikimybę užkrėstam agentui tapti sveiku agentu. Atkreipkite dėmesį, kad toks žymėjimas yra panašus į ankstesnįjį – esminis skirtumas yra tas, kad indeksai yra apkeisti vietomis. Būtent tai rodo priešingą tapsmo kryptį. Galiausiai turime p_id tikimybę, nusakančią užsikrėtusio agentas tapimą mirusiu agentu (angl. dead). Bendru atveju tarp trijų agentų būsenų galėtų būti daugiau perėjimų (viso 6), bet mūsų atveju jie neįmanomi. Juk sunku įsivaizduoti mirusį agentą tampantį sveiku (nors pasaulis yra įdomus ir įvarus, tad būna ir tokių atvejų). Tuo tarpu sveiko agento mirtį, dėl kitų priežasčių nei užkratas, įsivaizduoti galima, bet tai nėra šio konkretaus modeliavimo tikslas. Tad, likusių trijų perėjimų tikimybes tiesiog galima būtų laikyti nulinėmis. Kad būtų lengviau įsivaizduoti kas vyksta modelyje, pateikiame elementarią virsmų schemą.

Šiuo metu vienintelis esminis aspektas, kurio trūksta modeliui yra vakcinos įtaka užsikrėtimui. Modelį papildykime tikimybe apsisaugoti nuo užkrato dėl vakcinos. Šią tikimybę pažymėkime p_eff. Dar galime pridėti natūralaus imuniteto įtaką – tikimybę neužsikrėsti dėl natūralaus imuniteto, p_im. Šios tikimybės modelyje veikia nepriklausomai viena nuo kitos ir nepriklausomai nuo tikimybės (ne)užsikrėsti nuo visų sergančių kaimynų. Kaip tai veikia iš tiesų, lengviausia pamatyti per matematikos prizmę.

Kiekvienu laiko momentu (kad būtų paprasčiau, modelio laiko žingsnio parametrą ignoruosime) kiekvienas agentas sąveikauja su keturiais gretimais kaimynais. Tad kiekvienas sveikas agentas gali užsikrėsti nuo kiekvieno iš keturių kaimynų su tikimybe p_hi. Tarkime, kad pasirinkto konkretaus agento (tegu jo indeksas būna j), n_j kaimynų yra užsikrėtę. Kokia tikimybė, kad jis užsikrės bent nuo vieno iš jų? Lengviausia iš pradžių suskaičiuoti priešingo įvykio tikimybę – kad agentas nuo kaimynų neužsikrės:

p_j,hh=(1-p_hi)^n_j

Pagal priešingo įvykio tikimybės apibrėžimą, jeigu nebūtų imuniteto ir skiepų, tai agentas užsikrėstų nuo visų savo užkrėstų kaimynų su tikimybe:

p̃_j,hi=1-p_j,hh=1-(1-p_hi)^n_j

p_j,v,hi=(1-p_eff)(1-p_im)p̃_j,hi

p_j,n,hi=(1-p_im)p̃_j,hi

Turėtų būti akivaizdu, kad

p_j,v,hi ≤ p_j,n,hi, nes 1-p_eff ≤ 1

Antroji nelygybė visada teisinga pagal tikimybės apibrėžimą (kad galimos tikimybės p vertės yra tarp 0 ir 1). Pirmąją nelygybę galima nesunkiai interpretuoti ir žmonių kalba – tikėtina, kad vakcinuoti agentai užsikrės liga rečiau nei tie kurie yra nevakcinuoti. Rodos, tas ir taip turėtų būti akivaizdu, bet internetai rodo, kad taip nėra.

Galima išskirti tris atvejus, kai agento vakcinavimas neturės įtakos užsikrėtimo tikimybei. Visi šie atvejai yra idealizuoti ir ribiniai. Visų pirma, išvengti užkrato įmanoma, turint idealų imunitetą (p_im=1), bet akivaizdu, kad skirtingi žmonės turi skirtingo stiprumo imunines sistemas. Antroji, gana pesimistinė, galimybė – farmacijos kompanijos mus mausto, pardavinėdamos visiškai neefektyvias vakcinas (p_eff=0). Tuo veikiausiai tiki antivakcinavimo judėjimo šalininkai (antivakseriai), bet realių mokslinių duomenų, kad vakcinos būtų visiškai neefektyvios, nėra. Jos tikrai nėra absoliučiai efektyvios, apsaugo ne visus (yra žmonių su rimtomis sveikatos problemomis, kurie negali būti skiepijami) ir ne šimtu procentų. Trečioji galimybė, ir realiausias variantas, išvengti užkrato – nebendrauti su potencialiais ligos platintojais, silpno imuniteto turėtojais (nors tai tikrai nėra jų kaltė) ir… antivakseriais. Bet sutikite, kad iš pirmo žvilgsnio tokia sveikatos apsaugos priemonė skamba gan absurdiškai.

Bet būtent iš šios, atrodytų absurdiškos, idėjos kyla vadinamasis „bandos imuniteto“ efektas. Pagalvokime geriau – juk tikimybė pavieniam agentui užsikrėsti priklauso nuo jo kaimynų sveikatos būklės. Jeigu kaimynai sveiki, tai ir agentas bus sveikas. O nuo ko priklauso kaimynų sveikata? Nuo to ar jie ja pasirūpino, ir nuo to, kokia jų pačių kaimynų sveikata. Kuo daugiau vakcinuotų agentų, tuo sistema atsparesnė ligoms.

Įdomu, kad daugėjant vakcinuotų agentų, sistemos atsparumas auga netiesiškai. Dėl to, jei dauguma agentų nesiskiepiję, tai mažuma pasiskiepijusių rimtesnės apsaugos negaus. Panaši logika atvirkščiu atveju – jei dauguma agentų pasiskiepiję, tai mažuma nesiskiepijusių vis tiek bus gana gerai apsaugota. Kitaip tariant, yra tam tikras optimalus procentas, kurį pasiekus, galima būtų sustabdyti masines epidemijas, o tolesnis vakcinavimo lygio augimas tiek daug naudos nebeduotų, bet toliau iš lėto mažintų ligų protrūkių mastą. Žemiau pateiktoje programėlėje optimalus vakcinavimo procentas turėtų būti artimas 60%, bet tiksliau pasakyti sunku, nes daug kas priklauso nuo ligos specifikos ir nuo visuomenės struktūros – juk sutikite, ne visi turime lygai po 4 draugus. Tikslesnį reikalingą vakcinavimo lygį galima būtų pasakyti, į modelį įtraukus ligos specifiką ir socialinius žmonių ryšius. Šiuolaikinėje mokslinėje literatūroje konstruojami savo esme panašūs, bet žymiai tikslesni modeliai, kuriuose bandomos įvairios naujos vakcinavimo strategijos. Bandoma sugalvoti gudresnių strategijų nei dabartinė „skiepyk visus“ strategija. O kol mokslininkai dirba… geriau pasiskiepyti gydytojų rekomenduojamomis vakcinomis.

Šias įžvalgas galite pasitikrinti žemiau pateiktoje programėlėje. Joje modeliuojamos dvi atskiros agentų populiacijos (kairė ir dešinė). Šios dvi agentų populiacijos gali turėti skirtingą vakcinavimo procentą, p_vac. Numatytu atveju kairėje populiacijoje yra paskiepijama apie 90% agentų, o dešinėje apie 10%. Spustelėję mygtuką „Pradėti“, pamatysite kaip liga plinta kiekvienoje iš populiacijų. Viršutiniuose programėlės paveiksluose rodomi populiacijų vaizdai „iš viršaus“ (agentų būsenos), o apatiniuose grafike atvaizduojama bendros populiacijų statistikos kitimas laike. Apatiniuose grafikuose raudona kreivė vaizduoja užsikrėtusių agentų dalies (nuo visų agentų) kitimą. Juoda kreivė – bendro mirtingumo kitimą. Mėlyna kreivė – nevakcinuotų agentų mirtingumo kitimą. Žalia kreivė – vakcinuotų agentų mirtingumo kitimą. Violetinė kreivė vaizduoja gan keistą, didesnės prasmės neturintį, dydį, kuriuo mėgsta manipuliuoti antivakseriai – neskiepytų agentų dalį tarp visų mirusių agentų.

Antivakcinavimo judėjimo šalininkai mėgsta šį dydį todėl, kad nesunku parinkti realių pavienių atvejų, kai šis dydis byloja apie rezultatą, kurį norima patvirtinti (kad vakcinos yra pavojingos). Tačiau toks įrodymo būdas yra klaidingas (žr. Cherry picking ir Sharpshooter fallacy). Kodėl? Įsivaizduokime, kad turime vieną vienintelę „epidemijos“ auką. Kokia tikimybė, kad auka buvo skiepyta? Jeigu p_vac pakankamai didelis, tai labai dažnai matysime, kad visi mūsų pavieniai pacientai bus skiepytieji. Susidarys klaidingas įspūdis, kad vakcina tiesiogiai ar netiesiogiai sukėlė mirtį. Tarkime, aukų buvo kiek daugiau (iki 10-20). Kokia tikimybė, kad dauguma aukų buvo skiepytos? Jei p_vac pakankamai didelis, tai tikimybė gali būti didesnė nei 50 procentų. Vis dar atrodys, kad vakcina prisideda prie padidėjusio mirtingumo – vakcinuotis neapsimoka. Bet palyginkime kiek aukų nusineš epidemija, kai p_vac yra mažas!

Svarbus dydis yra bendras aukų skaičius (juoda kreivė), o ne tai, kiek procentų aukų sudaro skiepyti ar neskiepyti. Aukštas p_vac leidžia tikėtiną aukų skaičių sumažinti. Tačiau, kaip minėjau, nebūtina vakcinuoti visus žmones, yra tam tikras optimalus vakcinavimo lygis, kuris užtikrina, kad nekiltų didelės epidemijos. Tad gydytojai, rekomenduodami vienus ar kitus skiepus, gali atsižvelgti į pacientų sveikatos būklę ir nesiūlyti skiepytis tiems, kuriems galėtų kilti pavojus. Bet antivakseriai iš mados kelia pavojų ne tik sau ir tiems kurie negali skiepytis dėl objektyvių priežasčių, bet ir visai plačiai visuomenei.

Visada bus tų, kurių vakcina neapsaugos, bet įprotis skiepytis gali išgelbėti kitus!

Aleksejus Kononovičius
VU Teorinės fizikos ir astronomijos instituto jaunesnysis mokslo darbuotojas