Vis to­bu­lė­jan­tys kom­piu­te­riai pa­tei­kia ma­te­ma­ti­nius įro­dy­mus, ku­rių žmo­nėms prak­tiš­kai ne­įma­no­ma pa­tik­rin­ti. Ar tai reiš­kia, kad ma­te­ma­ti­nę ek­vi­li­bris­ti­ką ver­čiau pa­lik­ti kom­piu­te­riams, o žmo­nėms ge­riau ne­kiš­ti no­sies?

Kompiuteriai gali būti vertingi įrankiai, padedantys matematikams spręsti problemas, bet jie gali suvaidinti ir savo vaidmenį, atrasdami matematines teoremas ir jas įrodydami.

Ko gero, pirmasis kompiuteriu pasiektas rezultatas buvo prieš 40 metų įrodyta keturių spalvų teorema – prielaida, kad bet kokį žemėlapį (laikantis tam tikrų sąlygų) galima nuspalvoti vos keturiomis skirtingomis spalvomis.

Pirmą kartą kompiuteriu ši teorema buvo įrodyta 1976 metais, nors vėliau rasta spragų, ir ištaisytas įrodymas buvo pateiktas tik 1995 metais.

2003 m. Thomasas Halesas iš Pittsburgho universiteto, publikavo kompiuteriniais skaičiavimais paremtą Keplerio konjektūros įrodymą, kad gerai pažįstamas apelsinų išdėliojimo prekybos centruose metodas yra efektyviausias erdvės užpildymo vienodo diametro sferomis būdas.

Nors Halesas įrodymą publikavo 2003 metais, daug matematikų juo nebuvo patenkinti, nes įrodymą lydėjo du gigabaitai kompiuterio išvesties duomenų (tuo laiku tai buvo didelė apimtis), ir kai kurie skaičiavimai negalėjo būti patvirtinti.

Atsakydamas į kritiką, Halesas 2014 metais pateikė kompiuteriu patvirtintą formalų įrodymą.

Naujas žaidėjas

Naujausias šios srities pasiekimas yra šį mėnesį Nature paskelbtas kompiuterinis Pitagoro trejetų problemos įrodymas.

Čia teigiama, kad sveikuosius skaičius nuo 1 iki 7824 galima nuspalvuoti raudonai arba mėlynai tokiu būdu, kad jokie trys skaičiai a, b ir c, tenkinantys sąlygą a² + b² = c² (Pitagoro teorema, kur a, b ir c yra stačiojo trikampio kraštinės) nebūtų tos pačios spalvos. Su sveikaisiais skaičiais nuo 1 iki 7825 to atlikti neįmanoma.

Netgi su nedideliais skaičiais sunku rasti derinius, kad skaičiai būtų nuspalvinti ne vienodai. Pavyzdžiui, jeigu 5 yra raudonas, tada 12 arba 13 turi būti mėlynas, kadangi 5² + 12² = 13²; ir 3 arba 4 irgi privalo būti mėlynas, nes 3² + 4² = 5². Kiekvienas pasirinkimas turi daug apribojimų.

Pasirodo, sveikuosius skaičius nuo 1 iki 7825 įmanoma nuspalvinti daugybe būdų – daugiau nei 10²³⁰⁰ (vienetas su 2300 nulių). Šis skaičius nepalyginamai didesnis už fundamentaliųjų dalelių skaičių regimojoje visatoje – vos 10⁸⁵.

Bet tyrėjai, pasinaudodami įvairiomis simetrijomis ir skaičių teorijos savybėmis sugebėjo tikrinimų skaičių sumažinti iki „vos“ vieno trilijono. Kiekvieno iš trilijono atvejų patikrinimui Teksaso universiteto Stampede superkompiuteris, turintis 800 procesorių, užgaišo 2 paras.

Nors šio rezultato tiesioginis pritaikymas menkai tikėtinas, galimybė išspręsti tokias sudėtingas spalvinimo problemas reiškia rimtas pasekmes programavimui ir saugumui.

Teksase atlikti skaičiavimai, kai buvo atlikta maždaug 10¹⁹ aritmetinių operacijų, nėra didžiausias matematinis skaičiavimas. 2013 metais mūsų ir dviejų IBM tyrėjų atliktame skaičiaus π² skaičiavime atlikta dvigubai daugiau operacijų.

Didžioji internetinė Merseno pirminių skaičių paieška (GIMPS), pasaulinis kompiuterių tinklas, ieškodamas didžiausių pirminių skaičių, nuolat vykdo 450 trilijonų skaičiavimų per sekundę, taip kas 6 valandas viršydamas Teksaso skaičiavimo operacijų skaičių.

Visgi kompiuterio išvesties aspektu, Teksaso skaičiavimas lieka nepralenktas – 200 terabaitų, tiksliau 2✕10¹⁴ baitų, arba po 30 000 baitų kiekvienam Žemės žmogui.

O kaip kas nors gali patikrinti tokį nemenką rezultatą? Laimei, Pitagoro trejetų programa pateikė sprendimą (žr. pav. aukščiau) kurį patikrinti gali daug mažesnė programa.

Tai panašu į labai didelio skaičiaus c faktorizavimą kompiuteriu į du mažesnius dėmenis a ir b taip, kad c = a ✕ b. Surasti a ir b dažnai būna nelengva, bet radus, juos sudauginti ir patikrinti, kad jie atitinka sąlygą – juokų darbas.

Ar matematikų nebereikia?

Tai ką visi šie pasiekimai reiškia? Ar matematikos tyrinėtojai netrukus prisijungs prie šachmatų didmeistrių, Jeopardy čempionų, parduotuvių darbuotojų, taksi vairuotojų, vilkikų vairuotojų, radiologų ir kitų profesijųkurios gresia išnykimas dėl sparčiai besivystančios technologijos?

Ne visai. Matematikai, kaip ir daugelis kitų šakų profesionalų, pasitelkė skaičiavimus kaip naują matematinių tyrimų būdą, eksperimentinę matematiką.

Tad, kas tiksliai yra toji eksperimentinė matematika? Geriausia ją apibūdinti kaip tyrimų metodą, kai kompiuteriai panaudojami kaip „laboratorijos“, taip pat kaip fizikai, chemikai, biologai ar inžinieriai atlieka eksperimentus, tarkime, ieškodami naujų įžvalgų, tikrindami ir paneigdami spėjimus, bei patvirtindami įprastinėmis priemonėmis įrodytus rezultatus.

Šia tema plačiau esame parašę kitur – visas technines smulkmenas rasite knygose ir straipsniuose.

Viena vertus, eksperimentinėje matematinių tyrimų metodologijoje nėra nieko naujo. Trečiajame amžiuje prieš mūsų erą, didysis Senovės graikų matematikas Archimedas rašė:

Lengviau pateikti įrodymą, turint [eksperimentiniu] metodu gautų žinių, nei rasti jį be jokių išankstinių žinių.

Galileo, sakoma, yra parašęs:

Visas tiesas lengva suprasti, kai jos jau atrastos; svarbu jas atrasti.

Karlas Frydrichas Gausas, XIX amžiaus matematikas ir fizikas, dažnai pasitelkdavo skaičiavimus savo nuostabių atradimų pagrindimui. Jis rašė:

Jau turiu rezultatą, bet dar nežinau, kaip jį įrodyti.

Technologija, žinoma yra kompiuteriais pagrįstos eksperimentinės matematikos pusėje. Kompiuterių techninė įranga kasmet vis tobulėja, ir matematinių skaičiavimų programinė įranga, pavyzdžiui, Maple, Mathematica, Sage ir kt. tampa vis galingesnė.

Šios sistemos jau pakankamai galingos, kad galėtų išspręsti praktiškai bet kokią lygtį, išvestinę, integralą ar kitą bakalauro studijų lygio matematikos užduotį.

Tad, nors žmonių atliekami įrodymai vis dar svarbiausi, kompiuteriai padeda matematikams atrasti naujas teoremas ir nubrėžti formalaus įrodymo kelio gaires.

Be to, galima teigti, kad daugeliu atvejų skaičiavimas yra patrauklesnis už žmogaus pateiktą įrodymą, kuriame yra vietos žmogiškoms klaidoms, neapsižiūrėjimams, ir pasitikėjimui kitų rezultatais, kurie irgi gali būti netvirti.

Andrew Wileso pirmasis Ferma paskutiniosios teoremos įrodymas vėliau pasirodė turintis spragų. Jos vėliau buvo ištaisytos.

Neseniai Alexander Yee ir Shigeru Kondo apskaičiavo 12,1 trilijonų skaičiaus pi skaitmenų. Jie tai atliko, iš pradžių suskaičiuodami kiek daugiau nei 10 trilijonų šešioliktainių skaitmenų, tada patikrino skaičiavimus, apskaičiuodami netoli galo esančių šešioliktainių skaičių atkarpą visiškai kitu algoritmu ir palygino rezultatus. jie sutapo idealiai.

Tad, kuris įrodymas patikimesnis, žmogaus atliktas šimtų puslapių ilgio teoremos įrodymas, kurį nuodugniai peržiūrėjo ir patvirtino vos keletas kitų matematikų, ar Yee-Kondo rezultatas? Pripažinkime, apskaičiuotas rezultatas daugeliu atvejų patikimesnis.

Kas laukia ateityje?

Labai panašu, kad tyrėjai matematikai ir toliau dirbs pagarbioje simbiozėje su kompiuteriais. Tiesą sakant, šiems santykiams ir kompiuterių technologijoms bręstant, matematikai vis lengvesne širdimi paliks kai kurias įrodymų dalis kompiuteriams.

Prieš porą metų šį klausimą aptarė penki Matematikos proveržio prizo laureatai. Australijos amerikietis matematikas Terence'as Tao konsensusą išreiškė taip:

Kompiuteriai, žinoma, galingės, bet tikiuosi, kad didžiąją dalį matematikos ir toliau atliks kompiuteriais dirbantys žmonės.

Tad, dar nenušveiskite šalin algebros vadovėlio. Jums jo prisireiks!

Komentarai ()