Iš pirmo žvilgsnio, šis klausimas atrodo kiek keistokas – juk chaosas arba netvarka tuo ir pasižymi, kad jame tvarkos nėra. Tačiau mokslų motina matematika su tokiu aiškinimu sutikti nenori ir nuosekliai ieško tvarkos arba bent jau galimybių netvarką apibrėžti ir susisteminti. Apžvelgsime, kaip jai sekasi.

Visa, kas aplink mus, sudaryta iš kokių nors smulkesnių sudedamųjų dalių, nuolat sąveikaujančių tarpusavyje, bei sąryšių tarp jų. Suvokti ar aprašyti tokią dinaminę (nepastovią) sistemą nėra paprasta: ji nuolat kinta.

Reiškinys, kuriame neįžvelgiama tvarka, vadinamas chaotišku, tačiau tai nėra chaoso apibrėžimas, o tik savybė, kuri jį skiria nuo kitų sudėtingų ir nepaaiškinamų reiškinių. Chaosas atsiranda tuomet, kai sistema yra labai jautri net ir mažiausiems ją nusakančių kintamųjų pokyčiams.

Kyla klausimas, kaip surasti bent kokią nors tvarką ten, kur ji iš esmės neegzistuoja? Šiuo tikslu iš chaoso, kaip sudėtinę jo dalį, galima išskirti determinuotąjį chaosą, kuris gali būti aprašomas matematiškai, o tai sukuria galimybes vykdyti tyrinėjimus ir prognozuoti. Fizinių mokslų srityje kalbama tik apie tokį chaosą, mat visiško chaoso aprašyti negalima, todėl itin svarbu suprasti šią sąvoką ir ribą tarp matematiškai aprašomos ir visiškos netvarkos. Ar galima teigti, kad visa, kas yra žemiau šios ribos, yra apibūdinama ir iš esmės tvarkinga? Taip, tai gali būti labai sudėtinga, tačiau niekas ir nesako, kad chaosas yra paprastas dalykas, o tuo labiau bandymas jį apibrėžti. Tačiau kuo painiau, tuo mokslininkui tik įdomiau, tad chaoso teorijos jau keli dešimtmečiai pakankamai aktyviai tyrinėjamos.

Chaoso teorija sukurta 1960-aisiais. Pirmasis mokslininkas, pradėjęs tyrinėti chaosą, buvo Edward N. Lorenz (1917-2008 m.) – JAV matematikas ir meteorologas, sukūręs garsiąją „drugelio efekto“ metaforą. Net jeigu ir nesate matematikas, „drugelio efektas“ turėtų būti žinomas iš įvairių filmų, nusigvelbusių chaoso idėją scenarijaus vingrybių įgyvendinimui. Pavyzdžiui 2004 metais išleista įdomi ir įtraukianti drama „Drugio efektas“ („Butterfly effect“).

Padiskutuoti apie filmo siužetines vingrybes ir režisieriaus chaoso teorijos supratimo lygį galėsite su draugais, o mes grįžkime prie chaoso teorijos atradėjo Edward N. Lorenz.

1961 m. mokslininkas nagrinėjo orų prognozavimo problemą. Prognozės modelis turėjo 12 lygčių ir buvo suprogramuotas tuometiniu kompiuteriu. Nagrinėdamas tam tikrą seką, E. Lorenz nusprendė ją tirti ne nuo pradžios, kaip įprasta, bet nuo vidurio. Po kurio laiko, peržiūrėdamas prognozavimo programos rezultatus, mokslininkas pastebėjo, kad gauta seka yra visiškai nepanaši į ankstesniąją. Toks nesutapimas įvyko todėl, kad mokslininkas savo programoje, įvesdamas pradinę sąlygą, skirtą eilutėms generuoti, surašė ne visus skaitmenis po kablelio. Buvo keista, kaip sąlyginai mažas pradinės sąlygos pokytis gali tolesnį sistemos vystymąsi padaryti visiškai kitokį ir nenuspėjamą. Tokį efektą E. Lorenz sulygino su drugelio sparnų mostu ore ir šį reiškinį poetiškai pavadino „drugelio efektu“.

Vaizdus drugelio efekto pavyzdys galėtų būti toks: jei drugelis Europoje nebūtų suplasnojęs būtent 2 kartus, tai po kelių dešimtmečių Australijoje nebūtų buvę audros. Atrodo neįtikima, tačiau įmanoma. Galite tik įsivaizduoti, kaip tokia mintis sužavėjo kino filmų kūrėjus ir scenaristus – prieš akis vėrėsi puikiausios galimybės įdomiems siužetams. Žinoma, tokios mintys neliko nepastebėtos ir kitų mokslininkų tarpe – chaoso teorijos tyrimai sudomino daugiau smalsių ir gabių protų.

1976m. vokiečių mokslininkas Otto Rössler (gim. 1940 m.) sukonstravo dinaminę sistemą, kurios koordinatės laikui bėgant nubrėžia du susiliejusius žiedus primenančią trajektoriją. Tai determinuoto chaoso pavyzdys: nors dinaminėje sistemoje nepavyksta įžvelgti kokių nors dėsningumų ar priklausomybių, bet ji visiškai nusakoma matematinėmis lygtimis. Turint matematinio modeliavimo žinių, galima tokią sistemą sumodeliuoti ir pavaizduoti. Ką gi, šiuo atradimu matematikai pasiekė pergalę – iš pirmo žvilgsnio neprognozuotiną procesą pavyko aprašyti konkrečiomis matematinėmis lygtimis.

Tik nemanykit, jog visos šios pastangos tebuvo skirtos tuščiam matematikų smalsumui patenkinti. Kiek vėliau išvestos lygtys, aprašančios Rössler dinaminės sistemos daugdarą (visumą chaotiškų trajektorijų) ir naudojamos modeliuojant stabilumą cheminių reakcijų metu.

Kalbant apie chaosą, tiesiog privalu paminėti fraktalus. Tai taip pat chaotiškas darinys ir tuo pačiu - visiškai naujas ir savitas požiūris į aplinką. Fraktalų teoriją 1982 m. suformavo Benoit Mandelbrot (1924-2010 m.) – ryškų pėdsaką matematikoje palikęs mokslininkas. Apie Benoit Mandelbrot gyvenimą ir svarbiausius mokslinius pasiekimus galite paskaityti šiame išsamiame apžvalginiame straipsnyje.  Jame taip pat surasite daugybę iliustruotų fraktalų pavyzdžių ir jų tyrimų istoriją.

Na, o tiems, kam nesinori skaityti ilgų tekstų, trumpai paaiškinsime, jog fraktalas – tai plokštumos taškų aibė, turinti begalinį atsikartojimą savyje. Dėl šios savybės jis gali būti panaudotas modeliuojant realaus pasaulio objektus, pavyzdžiui, paparčio lapo vaizdui gauti (kiekvienas lapelis yra tarsi viso lapo tiksli kopija). Nors fraktalas yra chaotiškas darinys, tačiau jį konstruoti gali būtų naudinga siekiant greičiau, tiksliau ir efektyviau imituoti kokią nors realią sistemą.

Šioje srityje Kauno technologijos universiteto mokslininkai yra pasiekę reikšmingų rezultatų: fraktalų teorijos elementus panaudojo vaizdų kodavime. Apskritai, fraktalų teorija yra pakankamai aktuali šiandien – vyksta konferencijos, orientuotos tik į šią siaurą tyrimų sritį, tai parodo fraktalų teorijos universalumą ir naujumą. Daugelis nė nepagalvotų, kad tai tik kelių dešimtmečių darbas. Sparčiai teorijos plėtrai didelės įtakos turėjo jauniesiems mokslininkams atvertos naujos nišos, kuriose jie atlikeka tyrimus bei ruošia baigiamuosius darbus taip tobulindami jau sukonstruotas teorijas.

Konstruojant fraktalą, yra perskaičiuojamos kiekvieno erdvės taško koordinatės, tokiu būdu kuris nors taškas turi savo trajektoriją, kuri vadinama šio taško orbita. Čia vėl turime „drugelio efektą“ – dviejų kiek norima gretimų taškų orbitos pradeda visiškai skirtis sistemai vystantis laike.

Turbūt pastebėjote, jog kiekvienas iš pateiktų pavyzdžių yra visiškai nusakomas matematiniais modeliais, nors tuo pačiu yra chaotiškas darinys. Kartais neužtenka turimų metodų konstruojant tam tikrą modelį ir mokslininkai kuria įvairius abstrakčius matematinius objektus, modeliuoja sąryšius tarp jų. Tokius uždavinius sprendžia taikomoji matematika – itin universali disciplina, tirianti įvairius ekonominius, biologinius, informacijos apdorojimo, kodavimo uždavinius. Vienas iš aktualių taikomosios matematikos uždavinių yra ir jau aprašytų chaotiškų dinaminių sistemų modeliavimas.

Sakysite, o ką čia dar galima tyrinėti – sistemos sudarytos, fraktalai nupaišyti – kaip ir viskas aišku. Pasirodo, ne viskas taip paprasta. Norint sugeneruoti tam tikrą fraktalą – realaus objekto atspindį, naudojamos lygtys ir transformacijos, kurios gali būti nesudėtingos, tačiau atsiranda algoritmų optimalumo problema: kai kurie iš jų yra labai imlūs laikui. Juk nesinori skaičiavimų rezultatų laukti kelias valandas ar net dienas. Kaip šią problemą išspręsti?

Pasiekti geresnių rezultatų galima ne tik tobulinant kompiuterines programas, bet ir koreguojant esamus ar kuriant naujus matematinius sistemų modelius, todėl šiuolaikiniam mokslui vis dar reikia stiprų analitinį mąstymą ir gerus fundamentaliųjų mokslų pagrindus turinčių tyrėjų. Dar daugiau, bet kuris savo srities specialistas, ar tai būtų finansų, verslo analitikas, ekonomistas, inžinierius ar mokytojas, turėdamas nemažą matematinių, analitinių, apskritai fundamentalių žinių bagažą, visada bus lyderis tarp kolegų.

Kuo daugiau aplinkinio pasaulio aprašysime, susisteminsime bei įžvelgsime dėsningumų netvarkoje, tuo daugiau ne tik įvesime tvarkos, bet ir jį pažinsime. Taigi atsakymas į straipsnio klausimą yra toks: tvarkos chaose yra tiek, kiek mes jos sugebėjome apibrėžti. Esamiems ir naujiems tyrėjams šis klausimas transformuojasi į tokį: kiek dar dėsningumo ir tvarkos mes sugebėsime įžvelgti chaose? Atsakymo į šį klausimą galbūt ieškosime kartu, jei tik pasirinksite matematiko specialybę ;)

Mantas Landauskas, KTU

Komentarai (0)