Dažnai girdžiu nuomonę, kad matematika labai sunkus mokslas, apipintas gausybės: apibrėžimų, teoremų, lemų, „formulių“. „Formulių“ kurios apkartiną gyvenimą ne vienam moksleiviui, studentui ar šiaip „matematikos mylėtojui“ Petriukui. Svarbiausia visos šios „formulės“, tokios senos, kad net sunku pasakyti kas pirmasis jas užrašė ir kodėl?

Liūdniausia, kad visai neįsigilinę matematikos kritikai viską sumaišo, suplaka. Ne paslaptis, kad tokios jų veiklos rezultatas būna: „nieko nesupratu“, „kokios gremėzdiškos formulės“. Tiesa, nereikia pamiršti, kad dažnai uždavinių sprendimai paverčiami neįsisąmonintų – „mechaninių“ veiksmų atlikimu. Norėčiau už „mechaninių“ veiksmų besislepiančių paklausti: o kur dingo kūrybiškumas? Kur dingo idėjos?

Šį kartą sustokime prie kvadratinės lygties. Taip, jūs teisus, ties ta pačia, kuri jums jau įgriso iki gyvo kaulo. Pažvelkime kokius sunkumus patyrė „matematikos mylėtojas“ Petriukas susidūręs su kvadratine lygtimi.

Petriuką nukrečia šaltukas vien nuo minties apie kvadratinės lygties:

7x²+2147483640x-2147483647=0

sprendinių radimo algoritmą. Lygties sprendimo eigą „matematikos mylėtojas“ suvokia miglotai. Galvoje sukasi, kvadratinio trinario: diskriminanto išraiška, sprendinių pavidalo formos su jose stūksančiomis šaknimis, bet viskas susilieja.

Petriukui tai ima panašėti į nuo neatmenamų laikų palėpėje stovinčią, voratinkliais apnarpliota močiutės skrynią. Jis puikiai pamena, kad skrynioje yra močiutės dienoraštis, kurį jis kažkada atsitiktinai kniausdamasis skrynioje rado. Atmintyje iškyla pageltęs dienoraščio lapas kuriame gražia močiutės rašysena išvedžiotos Omaro Chajamo ketureilio (rubajato) eilutės:

Aš atvirom akim pasauly gyvenau,
Jo paslaptis, mįsles spėliojau, gvildenau,
Septynias dešimtis dvejus metus galvojau –
Ir supratau: žinau, kad nieko nežinau.

– Ech, – atsidūsta Petriukas ir grįžta prie lygtie sprendimo.

– Kodėl man taip nesiseka? Nejau uždavinyno sudarytojai negalėjo mažesnių koeficientų užrašyti? Susimąsto Petriukas, surašydamas skaičius į diskriminanto išraišką. Pamažu jį užvaldo neviltis:

2147483640²=...

Skaičiuotuvas mobiliame telefone nesutinka kelti kvadratu tokį didžiulį skaičių.

Petriukas susierzinęs išlemena:

– O visi sako, kad „Nokia“ gamina geriausius telefonus.

Mieli skaitytojai jūs nespoksokite į monitorių, padėkite Petriukui išspręskite lygtį.

Jei tik būtų papildyta telefono sąskaita, Petriukas užsuktų į „Wolfram|Alpha“ puslapį ir akimirksniu sužinotų atsakymą. Reikėtų prisėsti prie kompiuterio, bet ten karaliauja vyresnysis brolis – studentas Jonas. Šiandiena Jonas su draugais vykdo svarbią „Word of Worcraft“ misiją, todėl galimybė pasinaudoti šeimos kompiuteriu lygi nuliui. 

Bet atkaklusis Petriukas nepasiduoda. Keliolika minučių vedžiojęs skaičius lape, jis apskaičiuoja kvadratinio trinario diskriminanto reikšmę. Deja, diskriminantas teigiamas ir realios šaknys egzistuoja.

Mieli skaitytojai, jūs nepasitikėkite Petriuku, patikrinkite. Gal jau išsprendėte lygtį? Gal kažkas žino, kodėl sprendžiant kvadratinė lygtį reikia nagrinėti diskriminanto išraišką? Kaip kvadratinio trinario (bet kokios eilės daugianario) šaknų kartotinumas susijęs su diskriminanto reikšme? Jei egzistuoja kvadratinės lygties sprendiniai, kodėl jų sprendinių formulių pavidalas būtent toks? Pastebėjote, kiek klausimų kyla? O atrodo viskas senai išgvildenta ir žinoma. Omara Chajamas teisus: „žinau, kad nieko nežinau“. O gal tingiu pagalvoti?

Petriukas žvilgčiodamas į matematikos žinyną užrašo lygties šaknų išraiškas pasinaudodamas sprendinių formulėmis, kuriose figūruoja radikalai. Atrodo uždavinys išspręstas, jei ne prierašas uždavinyne prie lygties „ Ar lygties sprendiniai racionalūs skaičiai?“.

Mieli skaitytojai, jūs žinote koks skaičius yra racionalus, o koks iracionalus?

Velniava. Reikia išsiaiškinti: ar kvadratinė šaknis iš diskriminanto reikšmės yra natūrinis skaičius. Čia jau krachas, nusimena Petriukas. Jei tik čia būtų Omaras Chajamas. Jis tikrai akimirksniu išspręstų šį uždavinį.

Petriukas varto matematikos žinyną, staiga jo žvilgsnis nukrypsta prie atvirkštinės Vieto teoremos. Jis įdėmiai peržvelgęs lygties koeficientus, nusišypso. Petriukas žino, ne tik kokie tikslūs lygties sprendiniai, bet ir tai, kad jie yra racionalūs skaičiai.

Mieli skaitytojai, jūs pastebėjote? Negi nematote? Tikrai nematote? 

Kaip didžiausią paslaptį pašnibždėsiu jums į ausį: Petriukas sudėjo visus lygties koeficientus esančius prie visų lygties kintamojo laipsnių. Jis gavo nulį. O jūs?

Reikėjo tik susimąstyti ir akimirksniu visi voratinkliai dingo. Pasirodo šis uždavinys lengvas. Sprendžiamas mintinai. Nereikia nei skaičiuotuvų, nei matematinių paketų. Tikiuosi ir jums, mieli skaitytojai, viskas aiškų. Jei ne, užuomina tinginiams: viena šaknis yra 1.

Manęs neapleidžia viltis, kad atsiras nors vienas iš skaitytojų, kuris susidomės kokius pėdsakus matematikoje paliko Omaras Chajamas ir Fransua Vietas. Pasidomėkite, sužinosite daug įdomių faktų.

Galiausiai paklausite manęs ko siekiau aprašydamas Petriuko ieškojimus? Norėjau jus skaitytojai, priversti mąstyti. Priversti įsigilinti į esamą situaciją. Matematika nėra teoremų, lemų, „formulių“ kratinys, matematika – dėsningumų (idėjų), užrašytų simbolių pagalba rinkinys. Jei jūs susiduriate su „formule apipinta voratinkliais“, jūs tiesiog nesuprantate idėjos, kuri slypi po ja. Pulkite mąstyti, ieškoti.

Nepasiduokite nevilčiai ir jūsų atkalumas virs atradimo džiaugsmu!

Lektorius Darius Petronaitis
Taikomosios matematikos katedra
Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas (buvęs Fundamentaliųjų mokslų fakultetas)

Komentarai (0)