Matematikos mėgėjams: ilgų laiko eilučių prognozavimas (0)
Daugelyje mokslo sričių, tokių kaip ekonometrija ar statistika, laiko eilute laikoma duomenų aibė, gaunama fiksuojant tam tikro stebėto kintamo reiškinio dydžius reguliariais laiko intervalais. Pavyzdžiui, tai gali būti per dieną šalyje suvartojamos elektros kiekis, stebimas kainų indeksas biržos uždarymo metu, vėjo greitis matuotas kas valandą ir pan.
Prisijunk prie technologijos.lt komandos!
Laisvas grafikas, uždarbis, daug įdomių veiklų. Patirtis nebūtina, reikia tik entuziazmo.
Sudomino? Užpildyk šią anketą!
Laiko eilučių, ypač ilgų, prognozavimas yra iššūkis daugeliui mokslo ir inžinerinių sričių. Prognozavimo tikslas, turint tam tikrą kiekį duomenų numatyti ateities duomenis, jų dar nežinant. Prognozavimo procedūros apima skirtingus metodus ir modelius: slenkančio vidurkio metodai, atsitiktinių žingsnių ir trendo modeliai, eksponentinis glotninimas, būvio būsenos modeliavimas, vektoriaus autoregresiniai modeliai, kointegruoti ir priežastiniai modeliai, metodai, paremti neuroniniais, neryškiais tinklais arba duomenų gavimo ir taisyklėmis paremtais metodais.
Tai yra tipiniai metodai naudojami laiko eilučių prognozavimui. Nors geriausio metodo, skirto prognozuoti laiko eilutes, paieška tęsiasi, yra sutinkama, kad nebus tokio metodo, kuris bus tinkamas visoms situacijoms.
Mes norime pademonstruoti ilgų laiko eilučių prognozavimą su neraiškių logikų sistemomis pagrįstų netolygiu eilutės rekonstravimu į laiko vėlinimų fazinę erdvę. Pirma aptarkime kas tai yra laiko eilutės rekonstravimas į fazinę laiko vėlinimų erdvę. Tai yra netiesinių dinaminių sistemų teorijos tyrimų sritis. Dinaminė sistema, tai taisyklė, apibūdinanti taško padėties erdvėje priklausomybę nuo laiko, pavyzdžiui, tai gali būti švytuoklės siūbavimas, žuvų skaičiaus kitimas ežere kiekvieną pavasarį.
Daugelį dinaminių sistemų aprašymui reikalingas ne vienas kintamasis. Tačiau, dažnai taip nutinka, kad kai kurių sistemą apibūdinančių kintamųjų išmatuoti neįmanoma, arba toks kintamasis yra nežinomas. Todėl, norint nustatyti sistemos būsenų dinamiką, tenka išsiversti tik su turimais stebėjimų duomenimis. 1981 metais, Takens įrodė teoremą, pagal kurią sistemos būsenoms stebėti užtenka turėti tik vieno kintamojo duomenis. To kintamojo duomenys yra mūsų tiriama laiko eilutė. Rekonstravimas į fazinę erdvę reiškia, kad mes stebimos eilutės duomenis grupuojame į d-mačius vektorius, kur naujoje d matavimo erdvėje bus stebima laiko eilutės dinamika.
Sakykime, kad turime laiko eilutės duomenis x1, x2, ..., xN. Rekonstruodami šią eilutę į dvimatę fazinę erdvę mes pirmiausia nusistatome laiko vėlinimą, su kuriuo toje fazinėje erdvėje mes gautume daugiausia informacijos apie proceso būsenas. Laiko vėlinimu mes vadiname laiko tarpą, per kurį atsilieka laiko eilutės vienas taškas nuo kito (1 paveiksle rodmuo τ). Iš dviejų laiko eilutės taškų, mes sudarome vieną tašką fazinėje erdvėje. Taip einant laiku po vieną žingsnį sudarinėjant dvimačius vektorius fazinėje erdvėje, mes gauname tam tikros formos kreivę. Pavyzdžiui, rekonstruodami harmoninę laiko eilutę į dvimatę fazinę erdvę gausime elipsę. Taip laiko eilutę galima rekonstruoti ir į didesnio mato erdvę. Laiko vėlinimai tokioje erdvėje gali būti vienodi tarp gretimų rekonstruoto vektoriaus koordinačių, arba skirtingi. Antruoju atveju, mes laiko eilutės rekonstravimą vadiname netolygiu.
Kai turime netolygų laiko vėlinimų rekonstravimą į fazinę erdvę, sudarome tokius vektorius:čia d yra laiko vėlinimų fazinės erdvės matas, yp(d) yra p-asis rekonstruotas d mato vektorius, 
Rekonstruotos erdvės matą parenkame ne atsitiktinai, o pagal tam tikrą algoritmą. Galima naudotis artimiausio klaidingo kaimyno algoritmu, arba vadovautis Takens teorema. Laiko eilutės optimaliam išskleidimui fazinėje erdvėje reikia tinkamai parinkti ne tik matą, bet ir geriausią laiko vėlinimų rinkinį, prie kurio mes geriausiai pastebėtume sistemos dinamiką fazinėje erdvėje.
Fazinėje erdvėje išskleistos kreivės plotas prie tokio vėlinimų rinkinio turi būti didžiausias. Tiems plotams išmatuoti, mums patogu fazinės erdvės kreivę projektuoti į visas įmanomas fazinės erdvės dvimates plokštumas, t.y. jei turime trimatę fazinę erdvę, su koordinačių ašimis OX1, OX2 ir OX3, tai rekonstruotą kreivę projektuosime į plokštumas X1OX2, X1OX3 ir X2OX3. Šių projekcijų plotų vidurkis su optimaliu laiko vėlinimų rinkiniu taip pat turi būti didžiausias.
Sekančiame straipsnyje papasakosime apie eilučių prognozavimo metodų pritaikymą astronomijoje bei KTU mokslininkų pasiekimus.
Kristina Lukoševičiūtė
Matematinės sistemotyros katedra
Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas (buvęs Fundamentaliųjų mokslų fakultetas)