Tęsiame pasakojimą apie investavimo problemas ir jų sprendimo būdus. Priminsime, jog pagrindinis investavimo tikslas - sugebėti suvaldyti riziką ir gauti pelną. Tai padeda padaryti įvairūs matematiniai modeliai, apie kuriuos ir pasakojama šiame straipsnyje.

Plačiau apie investavimą rašėme pirmojoje straipsnio dalyje, tad toliau tęsiame pasakojimą.

Išsamiau analizuojant rizikos matus, pastebima, kad juos galima išskaidyti į dvi stambias klases, šiame darbe panaudota Peter Albrecht siūloma klasifikacija:

• 1. Pirmos rūšies rizikos matai, kurie dar gali būti pavadinti nuokrypio matais, matuoja nuokrypio nuo tam tikro taško dydį.
• 2. Antros rūšies rizikos matai, matuoja visų galimų nuostolių reikšmingumą. Priešingai nei Pirmos rūšies matai šie gali būti tiek teigiami tiek neigiami.

Reikia paminėti, kad dvipusiai (simetriniai) rizikos matai vertina ne tik neigiamus, bet ir teigiamus nuokrypius, o vienpusiai (žemyn, asimetriniai) įvertina nuokrypį į neigiamą pusę, tačiau abiejų tipų matai gali būti tik teigiami.

Būtinas kapitalas atsiranda tada kai investuojama taip, kad investavimas būtų nerizikingas. Šiuo atveju rizikos matas yra teigiamas. O būtina premija atsiranda tada kai nėra pažeidžiamas saugumas, šiuo atveju rizikos matas yra neigiamas.

Peter Byrne ir Stephen Lee teigia, kad dažniausiai investuotojų naudojamas pirmos rūšies dvipusis rizikos matas - dispersija, neatsižvelgiant į tai, kad kiti rizikos matai turi daugiau teorinių ir praktinių privalumų, nei šis. Statistiškai dispersiją apskaičiuoti nėra sudėtinga ir ji gali būti naudojama kaip standartinė optimizavimo funkcija (kvadratinis optimizavimas), tačiau šio rizikos mato nepatartina naudoti kai duomenys turi „sunkias uodegas“ (tai būdinga besivystančioms rinkoms), nes tada jos - neįvertinamos ir gauti rezultatai būna neadekvatūs.

Taip pat dvipusius rizikos matus analizavo Stone, kuris pasiūlė trijų parametrų rizikos klasę, kuri apima standartinį nuokrypį, pusiau standartinį nuokrypį ir pusiau absoliutinį nuokrypį, ši klasė turi bendresnį pavadinimą - tai apibendrintos rizikos matų klasė, kuriai taip pat priklauso ir penkių parametrų rizikos klasė, tačiau ir šiose klasėse susiduriama su prieš tai aptartomis problemomis. Todėl, galime teigti, kad pirmos rūšies dvipusiai rizikos matai tinkami tik tada, kai tiriami finansiniai duomenys yra pasiskirstę pagal Normalųjį dėsnį ir yra simetriniai, todėl netinkami rinkoms su asimetriniais duomenims.

Mažiausių dalinių momentų metodas (žym. LPM) priskiriamas jau prie vienpusių (asimetrinių) rizikos matų klasės, kur matuojamas neigiamas nuokrypis nuo pasirinkto fiksuoto taško τ=E[X]. Šiame modelyje atsižvelgiama į investuotojo požiūrį į riziką: ieškantis, neutralus ar vengiantis jos. Tai bendriausia rizikos matų klasė aprašanti deficito riziką (angl. shortfall risk). Peter Albrecht savo darbuose teigia, kad deficito rizika yra pats paprasčiausias asimetrinis rizikos matas, kuris niekada neviršys surastos nuostolių pasiskirstyme minimumo reikšmės. Šis matas apibrėžiama taip: SR(M)=P(R<M), o grafinė rizikos mato padėtis nuostolių pasiskirstyme parodyta 3 pav.

Vienas populiariausių antros rūšies rizikos matų ir daugiausiai mokslininkų tyrinėtas yra rizikos vertė - VaR (angl. value-at-risk). Šis matas parodo didžiausią laukiamą nuostolį per tam tikrą laiko periodą esant tam tikram pasikliovimo lygmeniui bei normalioms rinkos sąlygoms. Dažniausiai parenkamas pasikliovimo lygmuo yra β=0.95. Tuomet rizikos vertė apima visus, išskyrus 5% nuostolių.

Tačiau šis rizikos matas neįvertina rizikos peržengiančios VaR lygį ir jos funkcija nėra subadityvi (diversifikavus portfelį gali padidėti rizika) ir iškila, dėl šių neigiamų savybių šis rizikos matas keičiamas į efektyvesnį - sąlygine rizikos verte - CVaR (angl. conditional value-at-risk). Įvairiuose šaltiniuose galima surasti, kad šis matas taip pat vadinamas tikėtinų nuostolių rizikos matu - ETL (angl. expected tail loss), kuris kaip ir CVaR apibūdina laukiamą sąlyginį nuostolį su sąlyga, kad šis nuostolis peržengs VaR ribą.

Skaičiuojamieji eksperimentai parodė, kad dažniausiai CvaR minimizavimas duoda ir VaR modelio optimalų sprendinį, nes VaR niekada neviršija CvaR dydžio, todėl portfeliai su mažu CvaR visada turės mažą VaR. Taip pat Rockafellar ir Urysev parodė, kad jei nagrinėjamų duomenų grąžos yra pasiskirsčiusios pagal Normalųjį dėsnį, tai CvaR ir VaR yra ekvivalentūs rizikos matai, o jeigu duomenys yra asimetriški, tai portfeliai gali būti skirtingi.

VaR ir CVaR palyginimą puikiai iliustruoja 4 pav., kuriame matome, kad VaR padėtis nuostolių pasiskirstyme yra prognozuotas maksimalus nuostolis su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu, o tuo tarpu CVaR laukiamas sąlyginis nuostolis su sąlygą, kad šis nuostolis peržengs VaR dydį.

Antros rūšies rizikos matas minimax remiasi idėja, kaip viskas vyko praeityje ir todėl sutampa su minimalia portfelio grąža per visus istorinius stebėjimus t=1,…,T, o, be to, šis rizikos matas yra neigiamas, todėl galime teigti, kad nėra pažeidžiamas saugumas ir investuotojui visada bus suteikta premija už šio mato pasirinkimą. 

S. Cheng, Y. Liu ir S. Wang savo straipsnyje nagrinėja spektrinę riziką, kurios principas- didesnį kvantilio svorį skirti blogiausiam galimam rizikos atvejui, o taip pat progresuojantį rizikos matą - dinaminę riziką, kurios principas yra riziką padalinti į mažesnius diskontuotus vienetus, kurie įvertintų „tikrą pasaulio“ riziką. Tačiau šių dviejų rizikos matų taikymas finansiniams duomenims labai sudėtingas procesas, reikalaujantis išsamių tyrimų ir efektyvios programinės įrangos, todėl retai taikomas pavienių investuotojų.

Plačiausiai rizikos matai taikomi portfelio optimizavime, nes kiekvienas investuotojas sudarydamas portfelį tikisi, gauti maksimalią laukiamąją grąžą ir tuo pat metu patirti minimalią riziką.

Vienas populiariausių ir dažniausiai taikomų optimalaus investicinio portfelio parinkimo modelių yra Markowitz‘o modelis. JAV ekonomistas H. Markowitz buvo pirmasis mokslininkas, sukūręs modernaus portfelio teoriją, išanalizavęs rizikos matus remdamasis statistiniu dispersijos įvertinimu ir parodęs, kad galima sudaryti optimalų portfelį atsižvelgiant į investuotojams rūpimus pagrindinius du faktorius: riziką ir pelną, tam panaudojant kvadratinį optimizavimo uždavinį.

Dvidešimto amžiaus pabaigoje mokslininkai pasiūlė alternatyvius portfelio modelius paremtus tiesinio programavimo metodais. Ekvivalentų modelį, kuris vadinamas vidutiniu absoliutiniu nuokrypiu (angl. mean absoliute deviation) pasiūlė taikyti Konno. Šis modelis optimizuoja portfelį naudojant dalimis tiesinę rizikos funkciją ir kaip rašoma Peter Byrne ir Stephan Lee straipsnyje šiame modelyje nėra apibrėžta jokių konkrečių reikalavimų grąžų kovariacijos matricai, todėl jis puikiai gali pakeisti Markowitz modelį.

Tame pačiame straipsnyje Peter Byrne ir Stephen Lee rašo, kad MinMax modelis atitinka investuotojo laukiamą naudingumo funkciją. Be to, kaip ir vidutinio absoliutinio nuokrypio modelyje naudojamas tiesinis programavimas, todėl galime įtraukti net ir tas reikšmes, kurias būtų sunku apskaičiuoti kvadratiniu programavimu. Taip pat šis modelis yra pranašesnis, jei duomenys nėra pasiskirstę pagal Normalųjį dėsnį.

MiniMax modelį pirmasis pasiūlė pritaikyti Young, šio metodo idėja yra labai paprasta, portfelis yra parenkamas, atsižvelgiant į tai kaip jis būtų elgęsi praeityje per stebėjimų laikotarpį t=1,…,T. Šis metodas stengiasi maksimizuoti riziką, kol yra pasiekiamas nurodytas laukiamos grąžos lygis. 

Kita, alternatyvi ir dažniausiai labiau naudinga, MiniMax portfelio parinkimo sąlyga yra – maksimalaus, stebėtame laike, galimo nuostolio minimizavimas. Galutinį sprendinį gali labai stipriai paveikti netgi viena išsišokanti istorinių duomenų reikšmė (rinkoje vieną dieną buvusi investuotojų panika), kuri apibūdina minimalią portfelio grąžą gautą per visą stebėjimo periodą. 

Taip pat praktikoje neretai yra taikomi VaR/CVaR modeliai, kurie įvertina uodegų „sunkumą“, todėl dažnai šiuo metodu sudarytas vertybinių popierių portfelis yra artimas efektyviajai kreivei, kas yra naudinga investuotojui norinčiam sudaryti optimalų portfelį su minimalia rizika.

Prieš tai aptartų portfelių laukiamajai grąžai apskaičiuoti arba kitaip sakant pelningumui įvertinti, gali būti naudojamas istorinio modeliavimo metodas, kuris leidžia modeliuoti pelningumą, kai laikantis prielaidos, kad portfelis kaip elgėsi praeityje taip elgsis ir ateinančiame periode. Šį metodą patogu taikyti, nes nereikia atsižvelgti į pelningumo pasiskirstymo funkciją, istorinio modeliavimo metodas gali būti pritaikytas bet kokiai finansinei rinkai ir rizikos rūšiai, o tai labai aktualu tiriant besivystančią rinką, tačiau šis metodas neįvertina rizikos nuolatinių pokyčių ir gali apimti tokius įvykius, kurių ateityje gali ir nebūti, pavyzdžiui akcijų kainų krizė.

Norėdami palyginti portfelių rezultatus su prisiimta rizika, ir sužinoti, kuris rizikos mato taikymas yra efektyviausias sudarant optimalų portfelį, reikia apskaičiuoti portfelio elgesio matą. Šių matų yra tikrai nemažai.

Nori sužinoti daugiau? Prisijunk prie taikomosios matematikos specialistų!

assoc. prof. dr. Audrius Kabasinskas,
Dept. of Mathematical Research in Systems
Kaunas University of Technology
Studentu 50-219, LT - 51368
Kaunas, Lithuania

Komentarai (0)