XIX am­ž­iaus pra­džio­je moks­le įsi­ga­lėjo de­ter­mi­nis­ti­nis po­žiū­ris į pa­sau­lį. To laik­me­čio di­die­ji moks­li­nin­kai ti­kėjo, kad vis­kas ga­lė­tų bū­ti at­sek­ta, su­skai­čiuo­ta ir paaiš­kin­ta, jei tik bū­tų ži­no­mos vi­sų vi­sa­tos ato­mų koordi­na­tės, ju­dė­ji­mo grei­čiai ir kryp­tys.

Tokiu atveju pakankamai protinga esybė, mokslo istorijoje vadinama Laplaso demonu, galėtų suskaičiuoti viską kas buvo ir bus. Žiūrint iš mūsų laikmečio perspektyvos, toks požiūris gali atrodyti naivus, nes mūsų laikais jau esame girdėję apie termodinamiką, žinome apie kvantinės mechanikos keistumus, o dar yra ir dinaminio chaoso teorija. Tiesiog to meto mokslas dar nebuvo susidūręs su šiomis problemomis, tad klasikinė mechanika ir jos bendrosios idėjos atrodė universalus pasaulio pažinimo įrankis.

Tačiau XIX amžiaus pirmoje pusėje buvo atlikti keli eksperimentai, kuriuos suprasti teoriškai, naudojant klasikinę mechaniką, sekėsi gana sunkiai. J. L. Gei-Liusakas parodė, kad egzistuoja tiesinis ryšis tarp dujų temperatūros ir jų užimamo tūrio (kai slėgis pastovus). Šarlis, laikydamas pastovų tūrį, parodė, kad kylant dujų temperatūrai, jų sukuriamas slėgis (į indo sieneles) auga tiesiškai. Boilis ir Mariotas, palaikydami pastovią temperatūrą, nustatė, kad dujų slėgis yra atvirkščiai proporcingas jų užimam tūriui. Taip pat buvo gerai žinomas antrasis termodinamikos dėsnis, kurį paprastai tariant, galima suformuluoti taip: šiluma perduodama iš karštesnio kūno šaltesniam kūnui. Jeigu pirmus tris pastebėjimus, vadinamus idealių dujų dėsnius, dar būtų galima paaiškinti, užrašius be galo daug klasikinės mechanikos judėjimo lygčių, tai antrasis termodinamikos tokiam aiškinimui nepasiduotų.

Norint paaiškinti antrąjį termodinamikos dėsnį reiktų paaiškinti kuo skiriasi praeitis ir ateitis. Skirtumą, kurio klasikinės mechanikos lygtyse nėra. Jos sėkmingai veiks ir pakeitus laiko tėkmės kryptį – sistemai judant iš dabarties į praeitį. Taigi, antrasis termodinamikos dėsnis neturėtų būti toks „dėsningas“ – turėtų būti būdas perduoti šilumą iš šaltesnio kūno karštesniam. Tačiau žinome, kad taip nenutinka. Nebent įsikiša šaldytuvas, elektrinė viryklė ar Maksvelo demonas. Kodėl taip visgi nenutinka, o kartu ir paprasčiau teoriškai suprasti tris idealių dujų dėsnius, padeda molekulinio chaoso hipotezė. Šios hipotezės pagrindas – Bolcmano padaryta prielaida, kad susidūrusių idealių dujų dalelių (daugeliu atvejų – molekulių) greičiai tarpusavyje nėra koreliuoti. Paprasčiau tariant, žinodami vienos iš dviejų dalelių greitį, po susidūrimo negalime tiksliai pasakyti antrosios dalelės greičio. Tačiau iš kiek ankstesnių Maksvelo darbų žinome dalelių judėjimo greičio skirstinį. Tad idealių dujų dinamiką aprašyti ir suprasti galime, naudodami statistinius įrankius.

Tačiau molekulinio chaoso hipotezė neatsirado tuščioje vietoje. Manoma, jos suformulavimui didelę įtaką turėjo to meto sociologų darbai. Kaip tik tuo metu šiuolaikinės sociologijos pradininkai – Ogiustas Kontas, Adolphe Quetelet ir kiti jų amžininkai pradėjo naudoti statistinius įrankius demografinių duomenų analizei. Jie pastebėjo, kad siekiant aprašyti visuomenę, kaip individų grupę, toli gražu ne visos individų savybės svarbios ir jas galima ignoruoti! Molekulinio chaoso hipotezė savo esme panaši, mat laikome, kad dalelės „pamiršta“ savo ankstesnius greičius. Paraleles patvirtina ir dažnai istorinėse apžvalgose sutinkama molekules ir žmones lyginanti Bolcmano citata:

„Molekulės primena daugybę individų, judančių kuo įvairiausiomis kryptimis, ir dujų savybės lieka pastovios tik todėl, kadangi molekulių, kurių judėjimo vidurkis atitinka kurią nors būseną, skaičius yra pastovus.”

– Ludwig Boltzmann

Pabandykime įsivaizduoti, kas vyksta uždarame inde, kuriame yra idealiosios dujos, ir užrašyti šį savo įsivaizdavimą matematiškai. Kitaip tariant, pabandykime sukurti šios sistemos matematinį modelį. Visų pirma tarkime, kad inde yra didelis, tačiau baigtinis dalelių skaičius – N. Gan ilgai idealių dujų dalelės lėks tiesiai ir tolygiai laisva erdve. Tačiau anksčiau ar vėliau jos atsitrenks arba į indo sienelę arba į kitą dalelę. Idealizuodami nagrinėjamą sistemą, galime tarti, kad visi susidūrimai yra momentiniai ir elastiniai – suminė dalelių kinetinė energija po smūgio išliks nepakitusi. Taigi, dalelei atsitrenkus į indo sienelę, jos kinetinė energija, taigi ir greičio modulis, išliks nepakitusi, o pasikeis tik dalelės judėjimo kryptis. Tuo tarpu susidūrus dviems dalelėms, viena iš jų perduos kitai dalį savo kinetinės energijos, abiejų dalelių judėjimo kryptys taip pat pasikeis, bet suminė abiejų dalelių kinetinė energija po smūgio nepakis. Matematiškai šią idėją galime užrašyti taip:

Šiose išraiškose kinetinę energija pažymėjome raide w. Pastebėkite, kad išraiškose prie w yra indeksas i arba j. Šie indeksai žymi dvi skirtingas susidūrime dalyvaujančias daleles. Atkreipkite dėmesį į tai, kad kairėje lygybės pusėje kinetinė energija yra užrašyta laiko momentu t+1, o dešinėje – laiko momentu t. Čia slypi dar viena svarbi prielaida – tarp laiko momentų t+1 ir t teturi įvykti lygiai vienas susidūrimas tarp dalelių. Taip pat abejų išraiškų dešinėje pusėje yra antrasis narys, Δw_ij, skiriasi tik jo ženklas, nusakantis dalelės energijos pokytį (gavimą ar praradimą). Klasikinėje mechanikoje šį energijos pokytį galėtume suskaičiuoti, pasinaudodami impulso tvermės dėsniu, bet dėl molekulinio chaoso hipotezės galima tiesiog tarti, kad energijos pokytis yra atsitiktinis:

Šioje išraiškoje ε yra atsitiktinis skaičius didesnis už (ar lygus) 0 ir mažesnis už (ar lygus) 1. Paprastumo dėlei, nes tiksliai pasakyti būtų sunku, tarkime, kad ε skirstinys yra tolyginis (visos vertės pasirinktame intervale yra vienodai tikėtinos). Įdomu, kad šiuo paprastu „atsitiktinio sumaišymo“ modeliu atkuriame gerai žinomą faktą – dalelių kinetinių energijų skirstinys atitinka Bolcmano-Gibso skirstinį.

Savu laiku Pink Floyd dainavo Money, it’s a gas, (pinigai – tai dujos), tad ir mes veskime paralelę tarp indo pilno idealių dujų dalelių ir neidealių žmonių ekonominės veiklos. Tarkime, kad idealių dujų dalelių kinetinė energija atitinka žmonių turtą, o susidūrimai – jų sudaromus sandorius. Sandorių pasekmė – vieni žmonės gauna produktą, kurį gali suvartoti, o kiti mainais iš jų gauna pinigus. Sakydami, kad produktų įvairovė didelė, galime paaiškinti skirtingas galimas ε vertes.

Įdomu, kad produktų, ar jų „kainų“ įvairovė modelyje nėra būtina. Galima būtų tarti, kad visi susidūrimai iš esmės yra vienodi - dalelės apsikeičia tuo pačiu „pinigų“ kiekiu:

Šiuo „fiksuotų mainų“ atveju dalelių kinetinės energijos (žmonių turtas) vis tiek bus pasiskirsčiusios pagal tą patį Bolcmano-Gibso skirstinį.

Tai, kad darydami pakeitimus, gauname vis tą patį rezultatą, – beje tolimą nuo realaus turto skirstinio – optimizmo neįkvepia, nes rodo, kad visiškai elementarus modelis neveiks – reikės rimtesnių pakeitimų. Įkvėpimo šiems pakeitimams pabandykime pasisemti iš realaus gyvenimo.

Įmanomos dvi, iš pirmo žvilgsnio viena kitai priešingos modelio modifikacijos – priversti daleles taupyti arba leisti joms skolintis ribotą sumą. Šias abi modifikacijas aptariame kartu, nes abiem atvejais energijos pokyčio formulė bus iš esmės tokia pati, kaip „atsitiktinio sumaišymo“ atveju. Vienintelis skirtumas – dalelių kinetinė energija bus dirbtinai sumažinta (nes dalelės bus priverstos taupyti) arba dirbtinai padidinta (nes dalelės galės skolintis). Abu šiuos atvejus galima interpretuoti kaip tam tikro energijos minimumo, w_mm, nustatymą – jeigu minimali energija teigiama, tai dalelės bus priverstos taupyti, o jeigu minimali energija neigiama, tai joms bus leidžiama „skolintis“ iki tos „vertės“.

Šiuo „fiksuoto minimumo“ atveju mes vis dar stebime Bolcmano-Gibso skirstinius, bet jis jau pastebimai nukrypsta nuo to, kurio galima būtų tikėtis jei minimumas būtų užfiksuotas ties nuliu („atsitiktinio sumaišymo“ atvejis). Šioje programėlėje vaizduojami du Bolcmano-Gibso skirstiniai – pirmasis atitinka „atsitiktinio sumaišymo“ atvejį, o antrasis – analizinę išraišką „fiksuoto minimumo“ atvejui. Šioje programėlėje verta pastebėti tai, kad kuo daugiau leidžiame skolintis (didelės neigiamos w_mm vertės), tuo labiau dalelių energijų (žmonių turto) skirstinys artėja prie tolygaus skirstinio, o visa sistema tampa nestabili. Tuo tarpu w_mm artėjant prie 1, stebimo skirstinio polinkis didės – dalelių energijos bus vienodesnės.

Visgi, nepaisant pažangos (nukrypstame nuo skirstinio, kurį prognozuoja „atsitiktinio sumaišymo“ modelis), realaus žmonių turto pasiskirstymo vis dar neatkūrėme. Esminis skirtumas tarp realybės ir lig šiol aptartų modelių rezultatų yra tas, kad Bolcmano-Gibso skirstinys yra eksponentinio pobūdžio, o realybėje turto skirstinys turi laipsninio pobūdžio uodegą. Pirmasis laipsninį turto pasiskirstymo pobūdį pastebėjo Paretas, tad literatūroje galima dažnai išvysti terminą „Pareto uodega“.

Lygindami eksponentinio pobūdžio ir laipsninio pobūdžio skirstinius, matome, kad pirmieji greičiau „gęsta“. Kitaip tariant, eksponentinio pobūdžio skirstinių tikėtinų verčių intervalas bus žymiai siauresnis nei laipsninio pobūdžio skirstinių. Pavyzdžiui, žmonių ūgio skirstinys veikiausiai būtų eksponentinio pobūdžio, mat daug žmonių yra maždaug to paties ūgio (1.5 – 2 m). Jeigu žmonių ūgio skirstinys būtų laipsninio pobūdžio, tai gali būti visai tikėtina gatvėje neretai išvysti tiek 15 cm ūgio nykštukus, tiek 20 metrų ūgio milžinus. Ekstremalių verčių, tolimų nuo vidurkio, tikimybės laipsniniuose skirstiniuose žymiai didesnės nei eksponentiniuose. Tai nesunku pastebėti žvelgiant į žmonių turtą – labai daug žmonių gyvena ties skurdo riba, bet taip pat yra palyginus daug milijardierių.

Tobulindami matematinį modelį, galime žengti link santykinio taupymo. Žodžiais taisyklę suformuluoti paprasta – dalelės pasilieka tam tikrą dalį turimos energijos sau (κw_i), o likusios energijos mainai vyksta kaip apibrėžta „atsitiktinio sumaišymo“ atveju. Matematiškai viskas paprasčiau:

„Santykinio taupumo“ atveju gausime nebe Bolcmano-Gibso kinetinių energijų skirstinį, bet Gamma skirstinį. Visgi, tai dar nėra esminis proveržis, nes Gamma skirstinys aprašo idealių dujų dalelių kinetinės energijos skirstinį, kai dalelės juda daugiamatėje erdvėje. Šiuo atveju κ parametras nulemtų erdvės matiškumą, d:

Įstatę κ=0 (jokio taupymo), matome, kad lig šiol nagrinėti modeliai aprašytų dvimates (d=2) idealias dujas.

Ženkime dar vieną, gan realistišką, žingsnį – kiekvienai dalelei suteikime nuosavą santykinį „taupumą,“ κ_i. Juk ekonominiu atžvilgiu, visi žmonės yra šiek tiek skirtingi – jie gali turėti skirtingus polinkius „taupyti.“ Tokiu atveju energijos pokytį galima būtų apibrėžti taip:

Skaičiuojant analitiškai, manipuliuojant algebrinėmis išraiškomis, galima būtų parodyti, kad jei κ_i vertės pasiskirsčiusios tolygiai, tai energijų (turto) skirstinys turės pastebimą laipsninę uodegą (kurios laipsnio rodiklis bus artimas -2).

Taigi, galiausiai atkuriamas skirstinys kokybiškai panašus į realiai stebimą turto skirstinį. Atskiroms valstybėms skirstinio laipsnio rodikliai gali turėti kitokias vertes nei -2. Kuo šis laipsnio rodiklis artimesnis nuliui, tuo didesnė turto nelygybė nagrinėjamoje valstybėje. Didėjant laipsnio rodikliui, didės turtingųjų dalis visuomenėje.

Baigiant tekstą, svarbu paminėti, kad čia sukonstravome tik patį paprasčiausią ir paviršutiniškiausią galimą modelį. Šiame modelyje ignoravome infliaciją, kartų keitimąsi, ekonomikos būklę, valstybės mokesčių politiką ir kitus svarbius išorinius ir vidinius veiksnius. Šiame modelyje taip pat įsivedėme „taupumo“ parametrą, kuris ne tik atspindi atskirų žmonių gebėjimą taupyti (ar protingai elgtis su pinigais), bet ir realias jų galimybes tą daryti. Galimybės taupyti savo ruožtu gali priklausyti nuo daugelio socialinių ir ekonominių veiksnių. Taigi, tikėtina, kad net jei pradėsite nuoširdžiai taupyti, vargu ar greitu laiku tapsite milijonieriais. Kita vertus, finansinė drausmė dar niekam nepakenkė.

Šis tekstas buvo parašytas, remiantis Chakrabarti, Chakraborti, Chatterjee, Patriarca ir Yakovenko moksliniais darbais. Kiek plačiau, ir kiek labiau techniškai, šių mokslininkų darbų medžiaga buvo aptarta Rizikos fizikos straipsnių cikle „Kinetiniai modeliai“. Skaitytojams turėtų patikti politiškai aktualus šaržas „Socializmas ir kapitalizmas kinetiniuose modeliuose“.

Aleksejus Kononovičius
VU Teorinės fizikos ir astronomijos instituto jaunesnysis mokslo darbuotojas

Komentarai (2)