Septynios pasaulį valdančios lygtys (Video)  (3)

Su­skam­ba ža­din­tu­vas. Žvilg­te­li­te į laik­ro­dį – 6:30. Dar ne­iš­li­pus iš lo­vos, ma­žiau­siai še­šios ma­te­ma­ti­nės lyg­tys jau pa­vei­kė jū­sų gy­ve­ni­mą. Laik­ro­dy­je sau­gan­tis lai­ką lus­tas ne­bū­tų su­kur­tas be pa­grin­di­nės kvan­tų me­cha­ni­kos lyg­ties. Jo lai­kas nu­sta­ty­tas ra­di­jo sig­na­lu, apie ku­rio iš­ra­di­mą ne­bū­tu­me nė pa­sva­jo­ję be Jameso Clerko Maxwello ke­tu­rių ele­ktro­mag­ne­tiz­mo lyg­čių. Ir pats sig­na­las ke­liau­ja, pa­klus­da­mas va­di­na­ma­jai ban­gos lyg­čiai.

Mes plūduriuojame slaptame lygčių vandenyne. Lygtys veikia transporte, finansų sistemoje, sveikatos profilaktikoje, nusikaltimų užkardymo ir aiškinimosi, komunikacijų, maisto, vandens, šildymo ir apšvietimo sistemose. Ženkite į dušą ir naudokitės lygčių, reguliuojančių vandens tiekimą, nauda. Pusryčių dribsniai randasi iš kultūrų, išvestų, panaudojant statistikos lygtis. Važiuojate į darbą ir jūsų automobilio aerodinamika remiasi Navier-Stokes lygtimis, aprašančiomis virš jo ir aplink jį tekantį orą. Įjungus palydovinę navigaciją, vėlgi naudojamasi kvantų fizika, dar Niutono judėjimo ir gravitacijos dėsniai, padėję paleisti GPS palydovus ir nustatyti jų orbitas. Jame dar naudojamas atsitiktinių skaičių generatoriaus lygtys laiko signalui, trigonometrijos lygtys vietos nustatymui, bei specialioji ir bendroji reliatyvumo teorija tiksliam palydovo judėjimo Žemės gravitacijoje sekimui.


Pasaulį valdančios lygtys

Be lygčių didžioji dauguma mūsų technologijų niekada nebūtų išrasta. Žinoma, tokie svarbūs išradimai, kaip ugnis ar ratas, atsirado be jokių matematikos žinių. Tačiau be lygčių būtume užstrigę viduramžiuose.

Lygtys siekia toli už technologijos ribų. Be jų nesuprastume potvynius valdančios fizikos, pakrantėje dūžtančių bangų, vis besikeičiančių orų, planetų judėjimo, žvaigždžių branduolinių žaizdrų, galaktikų spiralių – visatos tolių ir mūsų vietos joje.

Yra dešimtys svarbių lygčių. Septynios, į kurias susitelkiu – bangų lygtis, keturios Maxwello lygtys, Fourier transformacija ir Schrödingerio lygtis – rodo, kaip iš empirinių stebėjimų radosi lygtys, naudojamos moksle ir kasdieniame gyvenime.

Pirmiausia, bangos lygtis. Gyvename bangų pasaulyje. Ausys aptinka slėgio bangas ore kaip garsą, o akys fiksuoja šviesos bangas. Kai miestą nusiaubia žemės drebėjimas, sugriovimus sukelia per Žemę judančios seisminės bangos.

Matematikams ir mokslininkams mąstyti apie bangas įprasta, tačiau pradžia buvo mene: kaip smuiko styga sukuria garsą? Šis klausimas mena senovės Graikijos pitagoriečių kultą, išsiaiškinusį, kad jeigu to paties tipo ir įtempimo stygų ilgių santykis yra paprastas, pavyzdžiui,2:1 ar 3:2, jie drauge kuria neįprastai harmoningus garsus. Sudėtingesni santykiai nedera ir rėžia ausį. Šiuos stebėjimus pradėjo aiškintis šveicarų matematikas Johannas Bernoulli'is. 1727 m. jis sumodeliavo smuiko stygą kaip daug viena šalia kitos esančių masių, sujungtų spyruoklėmis. Sistemos judėjimo lygčių aprašymui jis panaudojo Niutono judėjimo lygtis ir išsprendė jas. Iš sprendinių jis padarė išvadą, kad paprasčiausia vibruojančios stygos forma yra sinusinė kreivė. Yra ir kiti vibracijų tipai – sinusinės kreivės, kuriose daugiau nei viena banga telpa stygos ilgyje, – harmonikos.

Nuo bangų prie belaidiškumo

Beveik po 20 metų, Jeanas Le Rond d'Alembertas atliko panašią procedūrą, bet pasistengė judėjimo lygtis suprastinti, o ne išspręsti. Taip radosi elegantiška lygtis, aprašanti stygos formos kitimą. Tai yra bangos lygtis, ir ji teigia, kad bet kurio mažo stygos segmento pagreitis yra proporcingas jį veikiančiam įtempimui. Iš čia kyla, kad bangos, kurių dažniai nėra negali būti išreikšti sveikais skaičiais, kuria nemalonų zvimbimą, „mušimą“. Tai viena iš priežasčių, kodėl sveikų skaičių santykiai kuria harmoningai skambančias natas.

Bangos lygtis gali būti modifikuojama, kad galėtų aprašyti sudėtingesnius reiškinius, tarkime, žemės drebėjimus. Sudėtingos bangos lygties versijos leidžia seismologams išsiaiškinti, kas vyksta šimtų kilometrų gylyje po kojomis. Jie gali nubraižyti viena po kita slenkančias Žemės tektonines plokštes, taip sukeliančias žemės drebėjimus ir ugnikalnių išsiveržimus. Šioje srityje didžiausias prizas būtų patikimas drebėjimų ir išsiveržimų prognozavimas, ir daugelis tiriamų metodų remiasi bangos lygtimi.

Tačiau įtakingiausia bangos lygties įžvalga kilo iš Maxwello elektromagnetizmo lygčių tyrimų. 1820 m., dauguma žmonių savo namus apšviesdavo žvakėmis ir žibalinėmis lempomis. Norint nusiųsti žinutę, reikėjo rašyti laišką ir išsiųsti arklio tempiamu vežimu; skubios žinutės buvo pristatomos tiesiog arkliu, be karietos. Po 100 metų, namai ir gatvės buvo apšviestos elektra, telegrafas žinutes galėjo pristatyti į kitus žemynus, ir žmonės netgi pradėjo kalbėti vienas su kitu telefonu. Laboratorijose buvo pademonstruota radijo komunikacija, ir vienas verslininkas pastatė fabriką, pardavinėjantį „bevieliškumą“.

Šią socialinę ir technologinę revoliuciją įžiebė dviejų mokslininkų atradimai. Maždaug 1830-aisiais, Michaelas Faraday'us sukūrė elektromagnetizmo pagrindų fiziką. Po trisdešimties metų, Jamesas Clerkas Maxwellas užsiėmė Faradėjaus eksperimentų ir teorijų matematinės bazės formulavimu.

Tuo laiku dauguma fizikų, tyrinėjusių elektrą ir magnetizmą, ieškojo analogijų su gravitacija, kurią laikė jėga veikiančia tarp nutolusių kūnų. Faradėjus manė kitaip: siekdamas paaiškinti atliktų elektros ir magnetizmo eksperimentų rezultatus, jis postulavo, kad abu reiškiniai yra laukai, skrodžiantys erdvę, kintantys ir galintys būti aptikti pagal jų kuriamas jėgas. Faradėjus pavaizdavo savo teorijas kaip geometrines struktūras, kaip magnetinės jėgos linijas.

Maxwellas performulavo šias idėjas pagal analogiją su skysčių tėkmės matematika. Jis tai grindė tuo, kad jėgos linijos analogiškos keliams, kurais keliauja skysčio molekulės ir kad elektrinio ar magnetinio lauko stipris yra skysčio tekėjimo greičio analogas. Iki 1864 m. Maxwellas parašė keturias lygtis aprašančias elektrinių ir magnetinių laukų sąveiką. Dvi rodo, kad elektra ir magnetizmas negali nutekėti. Kitos dvi rodo, kad elektrinio lauko regionui sukantis mažu ratu, jis sukuria magnetinį lauką, o besisukantis magnetinis laukas sukuria elektros lauką.

Bet nuostabiausia tai, ką Maxwellas padarė paskui. Atlikęs kelias paprastas savo lygties manipuliacijas, jis sugebėjo išvesti bangos lygtį ir iš čia padarė išvadą, kad šviesa turi būti elektromagnetinė banga. Jau vien tai buvo pribloškiama naujiena, kadangi niekas negalėjo įsivaizduoti tokio fundamentalaus ryšio tarp šviesos, elektros ir magnetizmo. Ir tai dar ne viskas. Šviesa būna įvairių spalvų, atitinkančių skirtingus bangos ilgius. Šviesos bangos ilgius, kuriuos galime stebėti, riboja akies šviesai jautraus pigmentų chemija. Iš Maxwello lygčių kilo dramatiškas spėjimas – turėtų egzistuoti visų bangos ilgių elektromagnetinės bangos. Kai kurios, daug ilgesnės, nei galime matyti, pakeitė pasaulį: radijo bangos.

1887 m. Heinrichas Hertzas pademonstravo radijo bangas eksperimentiškai, tačiau neįvertino revoliucingiausio jų pritaikymo. Jei tokioje bangoje eitų įspausti signalą, būtų galima kalbėti su visu pasauliu. Nikola Tesla, Guglielmo Marconi ir kiti pavertė šią svajonę realybe, ir iš čia natūraliai radosi ištisa plejada modernių komunikacijų, nuo radijo ir televizijos iki radarų ir mikrobangų ryšių bei mobiliųjų telefonų. Ir visa tai kilo iš keturių lygčių ir poros trumpų paskaičiavimų. Maxwello lygtys ne tik pakeitė pasaulį. Jos atvėrė visai naują.

Lygiai, kaip tai, ką Maxwello lygtys aprašo, yra tai, ko jos neaprašo. Nors lygtys parodė, kad šviesa yra banga, mokslininkai veikiai atrado, kad jos elgesys nesutampa su šiuo požiūriu. Pašvieskite į metalą ir jame susikurs elektra, – šis reiškinys vadinamas fotoelektriniu efektu. Tai galima paaiškinti tik jei šviesa elgtųsi kaip dalelė. Tad, šviesa banga ar dalelė? Tiesą sakant, po truputį iš abiejų. Materija buvo sukurta iš kvantinių bangų ir tvirtai sumegztos bangos elgiasi kaip dalelės.

Gyvas ar miręs

1927 metais Erwinas Schrödingeris parašė kvantinių bangų lygtį. Ji kuo puikiausiai atitiko eksperimentus ir kartu vaizdavo labai keistą pasaulį, kuriame fundamentaliosios dalelės, tarkime, elektronai, nėra griežtai apibrėžti objektai, bet tikimybių debesys. Elektrono sukinys yra kaip moneta, galinti būti „herbas“ ir „pinigas“, kol nenukrenta ant stalo. Teoretikus greitai ėmė neraminti visokiausios kvantinės keistenybės, pavyzdžiui, tuo pačiu metu mirę ir gyvi katinai, bei paralelios visatos, kuriose Adolfas Hitleris II Pasaulinį karą laimėjo.

Kvantų mechanika neapsiriboja tokiomis filosofinėmis mįslėmis. Beveik visuose moderniuose įrenginiuose – kompiuteriuose, mobiliuosiuose telefonuose, žaidimų konsolėse, automobiliuose, šaldytuvuose, orkaitėse, – yra atminties lustai, pagaminti tranzistorių pagrindu, kurių veikimas savo ruožtu, paremtas puslaidininkių kvantų mechanika. Naujos kvantų mechanikos panaudojimo sritys randasi vos ne kas savaitę. Kvantiniai taškai – mažučiai puslaidininkio gabalėliai, gali skleisti bet kokios spalvos šviesą ir naudojami biologinių objektų apžiūrai, kur jie pakeičia tradicinius, dažnai toksiškus, dažus. Inžinieriai ir fizikai stengiasi išrasti kvantinius kompiuterius, galinčius lygiagrečiai atlikti daug skirtingų skaičiavimų, visai kaip gyva ir mirusi katė dėžėje.

Dar vienas kvantų mechanikos panaudojimas – lazeriai. Naudojame juos informacijos nuskaitymui iš mažų duobelių ar žymių CD, DVDs ir Blu-ray diskuose. Astronomai lazerius naudoja atstumo nuo Žemės iki Mėnulio matavimui. Gali netgi būti įmanoma paleisti kosminius laivus nuo Žemės raitus ant galingo lazerio spindulio.

Paskutinis šio pasakojimo skyrius skirtas lygčiai, padedančiai suprasti bangas. Prasideda jis 1807 metais, kai Josephas Fourier sukūrė šilumos sklidimo lygtį. Jis pateikė darbą Prancūzijos mokslų akademijai, tačiau darbas buvo atmestas. 1812 m. akademija paskelbė karštį savo kasmetinės premijos tema. Fourier pateikė ilgesnį, peržiūrėtą darbą ir laimėjo.

Labiausiai intriguojantis premiją laimėjusio Fourier dokumento aspektas buvo ne lygtis, bet jos sprendimo būdas. Tipinė problema buvo temperatūros kitimo išilgai plono strypo radimas, žinant pradines temperatūras. Fourier šią lygtį galėjo lengvai išspręsti, jei temperatūra kistų kaip sinusinė banga per strypo ilgį. Taigi, jis pateikė sudėtingesnį profilį kaip skirtingų bangos ilgių kombinaciją, išsprendė lygtį kiekvienam sinusinės kreivės komponentui, ir sudėjo šiuos sprendimus draugėn. Fourier teigė, kad šis metodas veikia bet kokiems profiliams, netgi tokiems, kur temperatūros pokytis staigus. Tereikia pridėti begalę sudėtinių dalių iš sinusinės kreivės su vis daugiau ir daugiau vingių.

Tačiau ir dabar naujasis Fourier darbas buvo kritikuojamas kaip nepakankamai kruopštus ir Prancūzijos akademija vėl atsisakė jį publikuoti. 1822 m. Fourier, nekreipdamas dėmesio į prieštaravimus, publikavo savo teoriją kaip knygą. Po poros metų jis susitiko su Akademijos sekretoriumi, parodė nosį kritikams ir publikavo savo originalų straipsnį akademijos žurnale. Tačiau kritika nebuvo tuščia. Matematikai buvo pradėję suprasti, kad begalinės serijos yra pavojingi žvėriukai; jos ne visada elgiasi kaip gražios, baigtinės sumos. Šių problemų sprendimas pasirodė esantis kietas riešutėlis, bet galutinis verdiktas skelbė, kad Fourier idėja gali būti tvirtesnė, atsisakius labai netaisyklingų profilių. Šio darbo rezultatas – Fourier transformacija, lygtis, laike kintantį signalą laikanti sudėtinių sinusinių kreivių serijų suma ir skaičiuojanti jų amplitudes ir dažnius.

Dabar Fourier transformacijos mūsų gyvenimus veikia daugybe būdų. Pavyzdžiui, galime panaudoti jas žemės drebėjimų sukeltų vibracijos signalų analizei ir apskaičiuoti dažnius, kai drebančios žemės energija didžiausia. Statant žemės drebėjimams atsparius pastatus, išmintinga užtikrinti, kad statinio savasis dažnis skirtųsi nuo žemės drebėjimo.

Tarp kitokių pritaikymų paminėtinas triukšmo šalinimas iš senų garso įrašų, DNR struktūros išsiaiškinimas, naudojant rentgeno spindulius, geresnis radijo imtuvų veikimas ir nepageidaujamos vibracijos automobilyje prevencija. Be to, yra dar viena sritis, kurioje to nežinodami, naudojamės kaskart, darydami skaitmenines nuotraukas.

Jei pasidomėtumėte, kiek informacijos reikia kiekvieno skaitmeninio atvaizdo pikselio spalvai ir šviesumui, pasirodytų, kad skaitmeninė kamera į atminties kortelę geba sugrūsti maždaug 10 kartų daugiau informacijos, nei kortelėje telpa. Kameros tai daro, naudodamos JPEG duomenų suspaudimą, apjungiantį penkis skirtingus suspaudimo žingsnius. Vienas iš jų – skaitmeninė Fourier transformacijos versija, apdorojanti signalą, kuris kinta ne laike, o atvaizdo erdvėje. Iš matematinės pusės užduotis praktiškai identiška. Kiti keturi žingsniai duomenis suspaudžia dar stipriau, maždaug iki dešimtadalio pradinio dydžio.

Tai tėra septynios iš daugybės lygčių, su kuriomis susiduriame kasdien, nesuvokdami, kad jos ten yra. Bet lygčių įtaka istorijai siekia daug toliau. Išties revoliucingos lygtys gali padaryti didesnę įtaką žmogaus egzistencijai, nei visi karaliai ir karalienės, kurių machinacijos užpildo istorijos knygas.

Yra (arba gali būti) viena lygtis, kurią kuo mieliausiai priglobtų fizikai ir kosmologai: visko teorija, apjungianti kvantų mechaniką ir reliatyvumą. Žinomiausia iš daugelio kandidatų yra superstygų teorija. Bet kiek žinome, mūsų fizinio pasaulio lygtys gali būti tik pernelyg supaprastinti modeliai, neapimantys tikrovės giliosios struktūros. Net jei gamta paklūsta universaliems dėsniams, jų gali neiti išreikšti kaip lygčių.

Kai kurie mokslininkai mano, kad jau metas išvis atmesti tradicines lygtis ir imtis algoritmų – bendresnių su sprendimų priėmimu susijusių receptų. Bet kol ta diena išauš – jeigu išauš, – giliausios mūsų įžvalgos į gamtos dėsnius ir toliau bus lygčių formos, ir turėtume mokytis suprasti ir vertinti jas. Lygtys iš tiesų pakeitė pasaulį ir keis jį ir toliau.

Lygčių kilmė

Senovės Babilonai ir graikai žinojo apie lygtis, nors rašė jas, naudodami žodžius ir paveikslėlius. Pastaruosius 500 metų matematikai ir mokslininkai naudoja simbolius, iš kurių svarbiausias yra lygybės ženklas. Kaip bebūtų keista, žinome, kas jį išrado ir kodėl. Tai buvo Robertas Rekordinė, 1557 m. rašęs savo traktate The Bostone of Piste: „Siekdamas išvengti varginančio šiųjų žodžių kartojimo: yra lygu tam: parašysiu taip, kaip dažnai darau savo darbe, porą paralelių, kitaip dvigubų, vienodo ilgio linijų: nes jokie .2. dalykai negali būti lygūs.“

Teoremos ir teorijos

Kai kurios lygtys rodo loginius ryšius tarp matematinių kiekybių, ir matematikų užduotis yra įrodyti, kad jie yra teisingi. Kitos teikia informaciją apie nežinomą kiekybę; čia reikia išspręsti lygtį ir nežinomąjį padaryti žinomu. Grynosios matematikos lygtys paprastai būna pirmojo tipo: jos parodo pačios matematikos struktūrą ir dėsningumus. Pitagoro teorema, lygtis,išreikšta geometrijos kalba yra to pavyzdys. Priimant bazines Euklido geometrijos prielaidas, Pitagoro teorema yra teisinga.

Taikomosios matematikos ir matematinės fizikos lygtys paprastai būna antrojo tipo. Jos išreiškia visatos savybes. Pavyzdžiui, Niutono gravitacijos dėsnis rodo mums, kaip apskaičiuoti tarp dviejų kūnų veikiančią traukos jėgą. Šių lygčių sprendimai parodo mums, kaip planetos sukasi apie Saulę, arba kaip suplanuoti kosminio zondo trajektoriją. Bet Niutono dėsnis nėra matematinė teorema; gravitacijos dėsnis gali būti ir kitoks. Tiesą sakant, jis ir yra kitoks: Einšteino bendrasis reliatyvumas patobulina Niutono dėsnius. Ir netgi ši teorija gali nebūti galutinis žodis.


Aut. teisės: www.technologijos.lt

(57)
(2)
(55)

Komentarai (3)