„Žinau, kad nieko nežinau“, – kadaise savo garsiąją frazę ištarė Sokratas.
Šis teiginys yra paradoksalus ir parodo, kokie sudėtingi gali būti savireferenciniai sakiniai. Tačiau jame taip pat slypi svarbi Vakarų filosofijos pradininko mintis: reikėtų abejoti viskuo, ką manome žinantys. Iš tikrųjų, kuo atidžiau pradedame analizuoti, tuo daugiau paradoksų pradedame pastebėti.

Svetainė businessinsider.com iš „Wikipedia“ daugiau kaip 200 paradoksų sąrašo atrinko pačius įdomiausius.

Kad kur nors nueitume, pirmiausia reikia įveikti pusę kelio, tuomet dar pusę likusio atstumo, vėliau dar pusę to, kas liko, ir taip iki begalybės. Taigi išeina, kad judėti yra neįmanoma.

Šis dichotomijos paradoksas priskiriamas senovės graikų filosofui Zenonui. Manoma, kad jis buvo sukurtas kaip įrodymas, kad pasaulis yra vienis ir kad jo kaita, įskaitant judėjimą, yra neįmanoma.

Žmonės metų metais intuityviai atmesdavo šį paradoksą.

Šis paradoksas buvo išspręstas XIX amžiuje, pasitelkus matematiką. Tereikia pripažinti, kad prie vienos antrosios pridėjus vieną ketvirtąją, tuomet – vieną aštuntąją, vieną šešioliktąją ir taip toliau, gaunamas vienetas. Tai beveik tas pats, kas sakyti, kad 0,999… prilygsta 1.

Tačiau šis teorinis sprendimas neatsako į klausimą, kaip subjektas gali pasiekti savo kelionės tikslą. Atsakymas į šį klausimą tebėra miglotas ir remiasi XX amžiaus teorijomis, kad materija, laikas ir erdvė nėra dalomi iki begalybės.

Visais atvejais judantis objektas yra neatskiriamas nuo nejudančio objekto. Taigi judėjimas yra negalimas.

Tai vadinama strėlės paradoksu ir tai dar vienas Zenono argumentas, kad judėti yra neįmanoma. Šio paradokso esmę sudaro tai, kad kiekvienu laiko akimirksniu nepraeina nė viena sekundė, taigi neįvyksta ir judėjimas. Zenonas tvirtino, kad jeigu laikas sudarytas iš momentų, tai tas faktas, kad per vieną momentą niekas nepajuda, reiškia kad judėti yra neįmanoma.

Kaip ir dichotomijos paradoksas, strėlės paradoksas turi aliuzijų į šiuolaikinį kvantinės mechanikos supratimą. Savo knygoje „Reflections on Relativity“ („Pamąstymai apie reliatyvumą“) Kevinas Brownas pažymi, kad specialiojo reliatyvumo kontekste judantis objektas skiriasi nuo nejudančio objekto. Reliatyvumo teorija teigia, kad skirtingais greičiais judantys objektai pašaliniams stebėtojams atrodys skirtingai ir jie patys skirtingai suvoks aplinkinį pasaulį.

Jeigu restauruoji laivą, pakeisdamas visas jo dalis, ar tai bus tas pats laivas?

Dar viena senovės graikų klasika – Tesėjo laivo paradoksas – nagrinėja tapatybės prieštaravimus.

Juos aprašė Plutarchas: „Laivas, kuriuo Tesėjas ir Atėnų jaunimas atplaukė iš Kretos, turėjo 30 irklų ir buvo saugomas atėniečių dar nuo Demetrijaus Faleroniečio laikų, nes jie senas, supuvusias lentas taip įnirtingai keitė naujomis ir tvirtesnės medienos lentomis, kad laivas filosofams tapo gyvu loginio klausimo pavyzdžiu; viena pusė tvirtino, kad laivas liko tas pats, o kiti ginčijosi, kad tai jau kitas laivas“.

Ar gali visagalė būtybė sukurti akmenį, kurio pati negalėtų pakelti?

Kaip gali egzistuoti blogis, jei Dievas yra visagalis? Ir kaip gali egzistuoti laisva valia, jei Dievas yra Visagalis?

Tai keli iš daugybės paradoksų, kurie kyla tuomet, kai Dievo apibūdinimams pradedama taikyti logika.

Kai kuriuos žmones šie paradoksai gali paskatinti netikėti aukščiausios dievybės egzistavimu. Tačiau kiti gali sakyti, kad jie yra neesminiai ar dėl tam tikrų priežasčių nepagrįsti.

Gali būti iki begalybės ilgas „ragas“, turintis baigtinį tūrį, bet beribį paviršiaus plotą.

Pereidami prie problemos, iškeltos XVII amžiuje, susiduriame su vienu iš daugelio paradoksų, susijusių su geometrija ir begalybe.

„Gabrieliaus ragas“ gaunamas tuomet, kai kreivė y būna lygi 1/x ir pasukama aplink horizontalią ašį, kaip parodyta paveiksliuke. Pasitelkę skaičiavimo technikas, leidžiančias apskaičiuoti tokiu būdu gautų formų plotą ir tūrį, galime pamatyti, kad iki begalybės ilgas ragas iš tikrųjų turi baigtinį tūrį, lygų π, bet beribį paviršiaus plotą.

Kaip teigiama „MathWorld“ straipsnyje apie šį ragą, tai reiškia, kad į jį būtų galima įpilti ribotą kiekį dažų, bet norint nudažyti visą jo paviršių, reikėtų beribio kiekio dažų.

Heterologinis žodis neapibūdina pats savęs. Ar žodis „heterologinis“ apibūdina pats save?

Tai vienas iš savireferencinių paradoksų, verčiančių šiuolaikinius matematikus ir logikus sukti galvas.

Heterologinio žodžio pavyzdys yra „veiksmažodis“, kuris pats nėra veiksmažodis (palyginimui: „daiktavardis“ pats yra daiktavardis). Kitas pavyzdys yra žodis „ilgas“, kuris pats nėra ilgas.

Taigi ar žodis „heterologinis“ yra heterologinis? Jeigu tai būtų žodis, kuris pats savęs neapibūdina, tuomet jis save taip ir apibūdintų. Tačiau jei jis save apibūdintų, tuomet jis nebūtų žodis, kuris save apibūdina.

Tai susiję su Bertrand`o Russello paradoksu, kuris klausia, ar dalykų tipas, kuris neįtraukia savęs, įtraukia ir save (garsusis barzdaskučio paradoksas: barzdaskutys skuta tik tuos, kurie nesiskuta patys. Ar jis skutasi pats?). Kurdamas tokius save paneigiančius tipus, B. Russellas ir kiti mokslininkai pabrėžė, kaip svarbu nustatyti taisykles, sudarant tipus. Tai paklojo pamatus XX amžiaus matematikai.

Pilotai gali atsisakyti pareigos kovoti, jeigu psichiškai tam yra netinkami. Tačiau bet kuris, pasitraukiantis iš kovos, įrodo, kad jis yra sveiko proto.

Satyrinis Josepho Hellerio romanas apie Antrąjį pasaulinį karą „Catch-22“ aprašė situaciją, kai kažkam reikia kažko, ką galima gauti tik nejaučiant tam poreikio. Tai irgi yra savotiškas savireferencinis paradoksas.

Pagrindinis romano veikėjas Yossarianas susiduria su šiuo paradoksu per pilotų įvertinimą ir vėliau paradoksalias (ir despotiškas) taisykles pradeda regėti visur, kur tik pasisuka.

Kiekvienas skaičius yra kažkuo įdomus.

1 yra pirmasis teigiamas natūralusis skaičius, 2 yra mažiausias pirminis skaičius, 3 yra pirmasis nelyginis pirminis skaičius, 4 yra mažiausias sudėtinis skaičius ir t. t. Kai galiausiai pasiekiamas skaičius, kuris, regis, jau niekuo nėra įdomus, tuomet šis skaičius tampa pirmuoju, kuris nebėra įdomus.

Įdomiųjų skaičių paradoksas kyla dėl netikslaus apibrėžimo, kas yra įdomu, ir virsta savotiška kvailesne kai kurių kitų paradoksų versija, kaip heterologinis paradoksas ar B. Russello paradoksas, kurio esmę sudaro viena kitai prieštaraujančios savireferencijos.

Kvantinės kompiuterijos tyrinėtojas Nathanielis Johnstonas rado protingą šio paradokso sprendimą: užuot rėmusis intuityvia „įdomumo“ samprata, kaip ir yra originaliajame paradokse, įdomų sveikąjį skaičių jis apibrėžė kaip vieną iš tų, kurie yra įtraukti į Internetinę sveikųjų skaičių sekų enciklopediją, kurioje surinkta dešimtys tūkstančių tokių matematinių sekų kaip pirminiai skaičiai, Fibonačio skaičiai ar Pitagoro trejetai.

Vadovaudamasis tokiu apibrėžimu, 2009 metų birželį N. Johnstonas savo tinklaraštyje rašė, kad pirmasis niekuo neįdomus skaičius, t. y. mažiausias sveikas skaičius, nepasirodantis nė vienoje sekoje, yra 11630. Kadangi enciklopedija nuolat pildoma naujomis sekomis, kurios gali įtraukti prieš tai neįdomius skaičius, naujausiais 2013 metų lapkričio duomenimis, šiuo metu mažiausiais neįdomus skaičius yra 14228.

Bare visuomet atsiras bent vienas lankytojas, kurio atveju bus teisinga, kad jei jis geria, geria visi.

Formalioje logikoje sąlyginiai sakiniai kartais įgauna intuicijai priešingas interpretacijas, ir gėrimo paradoksas yra puikus tokių sakinių pavyzdys.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad pagal šį paradoksą vienas žmogus verčia gerti likusius lankytojus.

Tačiau iš tiesų šiuo paradoksu pasakoma tik tiek, kad baro lankytojams neįmanoma gerti visiems kartu, jei negers kiekvienas baro lankytojas. Tačiau yra bent vienas lankytojas (paskutinis negeriantis lankytojas), kuris gerdamas galėtų padaryti taip, kad gertų visi baro lankytojai.

Rutulys, kuris gali būti supjaustytas į baigtinį skaičių dalelių, gali būti sudėtas atgal į du tokio paties dydžio kamuolius.

Šis Banacho – Tarskio paradoksas paremtas daugybe keistų ir nuojautai prieštaraujančių begalinių aibių ir geometrinių rotacijų savybių.

Gabaliukai, į kuriuos supjaustomas rutulys, atrodo labai keistai ir šis paradoksas galioja tik abstrakčiai, matematinei sferai. Būtų labai gražu, jei paimtumėt obuolį, jį supjaustytumėt ir tuomet sudėtumėt atgal jo gabaliukus, gaudami antrą obuolį savo draugui. Tačiau fiziniai rutuliai iš materijos negali būti taip išrinkti, kaip matematinė sfera.

100 g bulvių turi 99 proc. vandens. Jei šiek padžiuvus lieka 98 proc. vandens, bulvės svers tik 50 g.

Netgi dirbant su senamadiškais baigtiniais dydžiais, matematika gali pateikti keistų rezultatų.

Išnarplioti šį paradoksą padeda atidus matematinis sausojo bulvių turinio skaičiavimas. Kadangi bulves sudaro 99 proc. vandens, sausiesiems komponentams lieka 1 proc. jų masės. Bulvių svoris iš pradžių siekia 100 g, tai reiškia, kad jose yra 1 g sausųjų medžiagų. Kai šiek tiek padžiuvusiose bulvėse lieka 98 proc. vandens, tuomet 1 g sausųjų medžiagų pradeda sudaryti 2 proc. bulvių svorio. Vienas gramas yra lygus 2 proc. nuo 50 g. Taigi tai ir bus naujasis bulvių svoris.

Jei kambaryje yra bent 23 žmonės, tuomet tikimybė, kad bent du iš jų bus gimę tą pačią dieną, bus didesnė už 1/2.

Gimtadienių paradoksas pateikia dar vieną netikėtą matematinį rezultatą, kuris kyla iš atidaus tikimybių skaičiavimo. Jei kambaryje yra du žmonės, tuomet tikimybė, kad jie nėra gimę tą pačią dieną, sieks 364/365 (jei ignoruosime keliamuosius metus ir darysime prielaidą, kad visi gimtadieniai yra vienodai tikėtini), kadangi be pirmojo žmogaus gimtadienio bus likusios 364 dienos, kuriomis gali būti gimęs antrasis asmuo.

Jei kambaryje yra trys žmonės, tuomet tikimybė, kad jie visi yra gimę skirtingomis dienomis, bus lygi 364/365×363/365: kaip ir prieš tai, jei žinosime pirmojo žmogaus gimtadienį, liks 364 gimimo dienos variantai antrajam žmogui, paliekantys 363 variantus trečiajam žmogui, kurie bus skirtingi nuo pirmų dviejų žmonių.

Jei ir toliau taip skaičiuosime, priėjus 23 žmones, tikimybė, kad visi 23 asmenys bus gimę skirtingomis dienomis, nukris žemiau 50 proc. ribos, o tikimybė, kad bent du žmonės bus gimę tą pačią dieną, bus didesnė už pusę.

Dauguma žmonių draugų turi daugiau draugų negu tie žmonės.

Tai atrodo neįmanoma, bet paskaičiavus matematiškai, pasirodo, kad tai yra tiesa.

Socialiniuose tinkluose dauguma žmonių turi po kelis draugus, o saujelė žmonių turi daug draugų. Šios antrosios grupės socialinės peteliškės neproporcingai pasirodo kaip draugai žmonių, turinčių mažesnį skaičių draugų ir atitinkamai padidina vidutinį draugų draugų skaičių.

Vieną fiziką, bandantį išrasti laiko mašiną, aplanko jo paties senesnė versija. Senoji versija pateikia jam planą, kaip pagaminti laiko mašiną, ir naujesnė versija naudojasi šiuo planu, kurdama laiko mašiną, galiausiai nukeliaudama į praeitį kaip senoji savo paties versija.

Kelionė laiku, jeigu ji būtų įmanoma, galėtų sukelti itin keistas situacijas.

Šis paradoksas yra priešingas klasikiniam senelio paradoksui. Užuot nukeliavęs į praeitį ir apsaugojęs save nuo grįžimo laiku atgal, informacija ar objektas vėl grįžta atgal ir tampa „naujesne“ savęs versija, suteikdamas sau galimybę vėliau grįžti į praeitį. Tokiu atveju kyla klausimas: kaip, visų pirma, ši informacija ar objektas atsirado?

Kelionės laiku paradoksas yra dažnai sutinkamas mokslinėje fantastikoje ir savo pavadinimą gavo nuo trumpo Roberto Heinleino apsakymo. Pastaruoju metu jis pasirodė filme „Tarp žvaigždžių“ („Interstellar“).

Jeigu Žemė nėra niekuo ypatingai unikali, tuomet mūsų galaktikoje turėtų gyvuoti daugybė svetimų civilizacijų. Tačiau mes nerandame įrodymų, kad Visatoje būtų kitų protingų būtybių.

Galiausiai kai kam paradoksali atrodo pati mūsų Visatos tyla.

Astronomijoje viena iš pamatinių prielaidų yra ta, kad Žemė yra gana įprasta planeta gana įprastoje Saulės sistemoje, kuri priklauso gana įprastai galaktikai, taigi mes nesame kažkuo kosmiškai unikalūs. NASA Keplerio palydovas pateikė duomenų, kad mūsų galaktikoje veikiausiai yra 11 mlrd. į Žemę panašių planetų. Turint tai galvoje, kažkur ne itin toli nuo mūsų (bent jau kosminiais masteliais) turėjo atsirasti gyvybė.

Nepaisant tobulėjančių teleskopų, iki šiol nė vienoje Visatos vietoje nerandame jokių technologinių civilizacijų įrodymų. Civilizacijos būna triukšmingos: žmonija transliuoja televizijos ir radijo signalus, kurie neabejotinai yra dirbtiniai. Į mus panaši civilizacija tikrai turėtų palikti pėdsakų, kuriuos aptiktume.

Maža to, civilizacija, kuri atsirado prieš milijonus metų (palyginus neseniai, jei žvelgsime iš kosminės perspektyvos), būtų turėjusi daugybę laiko bent jau pradėti kolonizuoti galaktiką. Tai reiškia, kad turėtų būti dar daugiau jos egzistavimo ženklų. Iš tikrųjų, turėdama pakankamai laiko, kolonizavimą pradėjusi civilizacija per milijonus metų galėtų kolonizuoti visą galaktiką.

Fizikas Enrico Fermi, kurio vardu šis paradoksas buvo pavadintas, per pietų pertraukos diskusijas su savo kolegomis tiesiog klausė: „Kur jie yra?“. Vienas šio paradokso sprendimas kvestionuoja pačią mintį, kad Žemė yra įprasta planeta, ir tvirtina priešingai, kad sudėtinga gyvybė Visatoje yra itin reta. Kituose sprendimuose teigiama, kad technologinės civilizacijos neišvengiamai susinaikina per branduolinius karus ar ekologines katastrofas.

Kiek optimistiškesnis atsakymas perša idėją, kad ateiviai sąmoningai nuo mūsų slepiasi, kol mes pasieksime socialinę ir technologinę brandą. Dar viena mintis yra ta, kad ateivių technologijos yra tokios pažangios, jog mes net negalime jų pastebėti.

Komentarai (6)