Matematikams pavyko atrasti net 30 m. ieškotą geometriškai idealų netaisyklingąjį penkiakampį

daugiakampiais". Nes galima įrodyti, kad yra begalybė neiškiliųjų n-kampių (kur n yra nelyginis skaičius), kuriais galima padengti plokštumą.

Hm, o šiaip tai keista, kad tik 30 atrado. Galėčiau įrodyti, kad yra begalybė iškiliųjų penkiakampių, kuriais galima padengti plokštumą. EDIT - aj čia 30 penkiakampių . Nu jo, tada sudėtingiau... O koks yra jungimo būdo apibrėžimas? Kas skiria vieną būdą nuo kito?

Užduotis: rasti, kokie turi būti iškilojo penkiakampio kampai ir kraštinių proporcijos, kad vien tokiais penkiakampiais būtų galima padengti begalinę plokštumą be tarpų ir persidengimų – t.y., kad kiekviena briauna sutaptų su kaimyninio penkiakampio briauna (ar kelių penkiakampių briaunų dalimis) ir kiekvienas kampas liestųsi su dar bent 2 penkiakampiais. Keturkampiai gali būti bet kokie, jais visuomet įmanoma užpildyti begalinę plokštumą. Trikampiai taip pat, nes iš dviejų vienodų trikampių visuomet įmanoma sukonstruoti keturkampį. O iš 2 keturkampių visuomet įmanoma sukonstruoti simetrišką šešiakampį. Apie šešiakampius žinoma, kad yra lygiai trys simetrijos variantai (plius jų kombinacijos – pvz., lygiakraštis šešiakampis tenkina visus tris), kuomet jais galima užpildyti plokštumą. Sudėtingesniais iškilaisiais daugiakampiais nei šešiakampiai begalinės plokštumos padengti neįmanoma, tą įrodyti nesunku. Paprasčiausiai kampų vidurkis viršija 120 laipsnių, todėl neįmanoma, kad kiekvienas kampas ribotųsi su 2 ar daugiau daugiakampių (o priešingu atveju tai jau nebe iškilojo daugiakampio viršūnė!). Lieka neaiški figūra penkiakampis, čia jau įdomiau. Lygiakraščio penkiakampio kampas nėra 360 laipsnių sveikoji dalis (trikampio yra 360/6, kvadrato – 360/4, šešiakampio – 360/3). Vadinasi, tik netaisyklingieji iškilieji penkiakampiai „proto-fragmentai“ gali sudaryti homogeninę mozaiką. Kiek yra jų jungimo būdų – nežinoma, žinoma tik, kad skaičius baigtinis. Pradžioje atmeskime simetrijas ir mastelio bei posūkio transformacijas. Pvz., mozaiką iš kvadratų laikykime, kad galime sudaryti lygiai 2 būdais: suremiant kampais bei su poslinkiu (kai dviejų kvadratų bendra viršūnė remiasi į 3 kvadrato kraštinę). Ar paimsi dvigubai didesnius kvadratus, ar juos pasuksi per kažkiek laipsnių, mozaikos rūšis išlieka viena iš šių dviejų. Dabar sugalvokime, kaip nedviprasmiškai sunumeruoti kraštines ir kampus. Išvardinkime kiekvienai daugiakampio viršūnei, į kurią gretimo daugiakampio dalį (viršūnę nr. X arba briauną nr. Y) kiekviena viršūnė remiasi. Na, ir suskaičiuokime, kiek yra prasmingų kombinacijų. Pvz., kvadrato atveju visos viršūnės ir briaunos vienodos, todėl šachmatinio išdėstymo atveju užrašas galėtų būti ((v1,v1),(v1,v1),(v1,v1),(v1,v1)), ir visi kiti jam ekvivalentūs. Su poslinkiu atitinkamai ((v1,b1),(b1,v1),(v1,b1),(b1,v1)). Kitų variantų surasti neįmanoma. Tačiau jei vietoje kvadrato paimsime 2x1 formos stačiakampį, variantų atsiranda kur kas daugiau. Kuo figūra netaisyklingesnė, tuo įvairesnių atvejų gali rasti. Bet, pavyzdžiui, 3x1 stačiakampiai sudaro kitokias mozaikas nei 2x1. Rombai sudaro dar kitokias. Jei, kaip sakiau, bet kokie trikampiai ir keturkampiai visuomet sudėliojami į mozaiką, tai penkiakampiai ir šešiakampiai – tik tam tikrais atvejais. Svarbu nurodyti ne tik kampų susijungimus, bet ir rasti tinkamas briaunų proporcijas (jau išsiaiškinom, kad, pvz., penkiakampiais su briaunų proporcijomis 1:1:1:1:1 neįmanoma sudėlioti mozaikos, nes tai būtų lygiakraščiai penkiakampiai). O čia jau sudėtingas uždavinys! Penkiakampio atveju, vien galimų proporcijų erdvė kiekvienam jungimui yra 1xRxRxRxR = R⁴. Kaip matematiškai įrodyti, kad apskritai tokie išdėstymai egzistuoja? Atkreipk dėmesį, kad bet kurį lygiakraštį šešiakampį galima perkirsti į 2 vienodus netaisyklingus penkiakampius – per 2 priešingas briaunas. Ir nebūtinai lygiakraštį, pakanka ašinės simetrijos. Tokie šešiakampiai visuomet jungūs, todėl jungūs ir atitinkami juos sudarantys penkiakampiai. Nesunku patikrinti, kad kaip yra lygiai 2 būdai sujungti penkiakampius, kurių poros sudaro šešiakampį (kuomet visos viršūnės remiasi tik į kitas viršūnes arba 2 viršūnės remiasi į briaunas), taip pat galima rasti 2 variantus, kai šešiakampį su ašine simetrija sudaro 3 penkiakampiai ir dar 2 variantus iš 4 penkiakampių ( https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagona ... .281918.29 ). Visi kiti variantai sudėtingesni, ir juos rasti arba paneigti jų egzistavimą yra sunkiau. Iki šiol buvo žinoma 14 variantų, dabar rastas 15-tas. Kad variantų skaičius baigtinis – faktas (laikant, kad, pvz. apribojimas kaip A=180-B aprašo vieną variantą). Ar jų yra daugiau nei 15 – niekam nepavyko nei įrodyti, nei paneigti.