Gal geriau matematika be 𝜋, bet už tai su dovanomis? (8)
Redakciją pasiekė laiškas: „Perskaičiau Jūsų paskelbtą straipsnį „Kiek π reikšmės vietų po kablelio iš tiesų reikia?[1]. Tiesą pasakius, ten yra ir atsakymas. NASA-JPL netgi tarpplanetinės navigacijos skaičiavimuose naudoja tik 15 ženklų po kablelio. Šis straipsnis išprovokavo mane sugrįžti prie 𝜋 problemos.“
|
Visi šio ciklo įrašai |
|
Prisijunk prie technologijos.lt komandos!
Laisvas grafikas, uždarbis, daug įdomių veiklų. Patirtis nebūtina, reikia tik entuziazmo.
Sudomino? Užpildyk šią anketą!
Maždaug 2000 metų prieš Kristų, kada pradėjo formuotis geometrijos mokslas, buvo pradėta ieškoti koks yra santykis tarp apskritimo ilgio ir jo diametro [2]. Kaip bebūtų keista, į šio, atrodo elementaraus, dviejų skaičių santykio paieškas įsitraukė garsiausi mokslininkai: Archimedas, Leonardo da Vinci, Leibnicas, Newton ir taip iki šių laikų. Tas dviejų skaičių santykis pavadintas raide 𝜋. Jo dydį, kiekvienas mokslininkas siūlydavo vis kažkiek kitokį. Tik Fibonacci skaičių teorija pagrįstu algoritmu galima suskaičiuoti šį dviejų skaičių santykį, milijono ir daugiau ženklų po kablelio tikslumu. Jei įprastam šiuolaikiniam kompiuteriui pateiksite užklausą, 𝜋 gausite 15 ženklų tikslumu. Ne kosminiuose skaičiavimuose dažniausiai naudojama trijų ženklų po kablelio reikšmė. Tačiau skaičius 𝜋 yra transcendentinis skaičius, todėl visi skaičiavimai, kuriuose naudojama 𝜋, yra „apytiksliai“.
Šiais laikais skaičius 𝜋 plačiai naudojamas ne apskritimo ilgiui skaičiuoti, o formulėje, kampo dydį laipsniais, verčiančioje radianais. Tai reikia atlikti, skaičiuojant sinusus, kosinusus, tangentus ir kitas trigonometrines funkcijas, naudojamas beveik visuose inžineriniuose skaičiavimuose: pradedant mechanika, geodezija, lėktuvų kinetika, oro ir vandens dinamika ir baigiant astronomija. Įvertinus tai, kad trigonometrinės funkcijos \(sin\), \(cos\), \(tan\) ir kitos neturi analitinių išraiškų, jų dydžiai skaičiuojami begalinių eilučių metodu, kur vėl reikia apsispręsti, kiek begalinės eilutės elementų naudosite.
Ar galima apsieiti ir be skaičiaus 𝜋
Pasirodo, galima. Tereikia atsisakyti geometrinės apskritimo figūros. Apskritimas šiuolaikiniuose realiuose kompiuteriniuose skaičiavimuose dabar naudojamas retai. Netgi astronomijoje, iš kur atsirado trigonometrija, dabar dažniausiai naudojama elipsės arba kitos kreivės.
2011m. pasiūliau[3] h-Geometrija. Čia, nustatant trigonometrines sinuso, kosinuso ir tangento funkcijas, nebėra apskritimo, todėl nebėra 𝜋. Čia kampai matuojami ne laipsniais, o tiesės atkarpa, kurios ilgis yra h. h kinta nuo nulio iki vieneto.
Maždaug 300 metais prieš mūsų erą Euclidus suformavo geometrijos pagrindus. Graikų astronomas Hipparchus (190-120 m.p.m.e.) suformavo trigonometrijos pagrindus. Jam, kaip astronomui, buvo įdomu Saulės, Žemės ir Mėnulio judėjimo orbitos. Kadangi tada buvo manoma, kad planetos juda apskritimu, jis apskritimą sudalino į 360 dalių.
Kampą tarp dviejų spindulių, einančių iš apskritimo centro į apskritimo paviršiuje esančią 1/360 apskritimo dalį – lanką, – pavadino laipsniu. Tokiu būdu buvo suformuota kampo dydžio matavimo būdas. Vienas laipsnis yra kampo dydis, kuris ant apskritimo fiksuoja vieną 360-ją apskritimo ilgio dalį. Toks kampo matavimo būdas laipsniais prigijo trigonometrijoje. Pagrindinės trigonometrijos sąvokos matosi pavaizduotos 1 pav.
Kampo COE dydis klasikinėje trigonometrijoje žymimas \(\textstyle\alpha\) ir matuojamas radianais. Kada iš radianų pereinama į laipsnius, kampo COE dydis žymimas \(\textstyle \alpha{o}\). Klasikinėje trigonometrijoje naudojamasi trikampiu COD ir apskritimo dalimi EC1. Visuose skaičiavimuose kampo dydis matuojamas radianais. Radianų išreiškimui į laipsnius ir atgal – iš laipsnių į radianus – naudojamos formulės:
\begin{align} \alpha{o}=\frac{180}{\pi}×\alpha \end{align} \begin{align} \alpha=\frac{\pi}{180}×\alpha{o} \end{align}
Kampo dydžio matavimas radianais – dydžiais, kuris išreiškiamas apskritimo lanko ilgiu CE, naudojamas ir dabar. Suprantama, kad Hipparchus kaip astronomas, kuriam visi kampai vienai ar kitaip susiję su apskritimų, padarė tai kas jam buvo įdomu ir naudinga. Bet tokia kampų dydžių matavimo metodika buvo priimta ir galioja iki dabar.
Trigonometrijoje dažniausiai naudojamas ne kampo dydis \(\textstyle \alpha\), o trigonometrinės funkcijos \(\textstyle\sin\alpha\), \(\textstyle\cos\alpha\), ir \(\textstyle\tan\alpha\). Šios funkcijos pasižymi tuo, kad neturi analitinių išraiškų. Todėl jau kelis šimtmečius naudojamos šių funkcijų reikšmių lentelės, kuriose parodomas funkcijos kitimo priklausomybė nuo kampo dydžio (kampų dydis dažniausiai duodamas laipsniais). Besimokant trigonometrijos, tomis lentelėmis galima naudotis. Tačiau projektavimo metu šias funkcijas reikia skaičiuoti kompiuteriu. Prieš maždaug keturis šimtmečius buvo surastas trigonometrinių funkcijų skaičiavimas begalinėmis eilutėmis. Pavyzdžiui:
\begin{align} \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+… \end{align} \begin{align} \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+… \end{align}
Panašiai skaičiuojamos ir atvirkštinės funkcijos:
\begin{align} \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}\right] \end{align} \begin{align} \arccos(x)=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}\right] \end{align}
Siekiant supaprastinti skaičiavimus, galima panaudoti h – geometrijos trigonometrines funkcijas. Kad būtų aiškesnė fizikinė h-geometrijos trigonometrijos prasmė, sugrįžkime prie brėžinio (pav. 1). Užmirškime apskritimą. Turime du trikampius: trikampį 1EO ir trikampį MNO. Kampo MON dydį žymėsime raide \(h\). Kampo MON išreikšime atkarpos MN ilgiu, kurį taip pat žymėsime raide \(h\). Pažymėsime:
\begin{align} OE=1; \end{align}
\begin{align} MN=h; \end{align}
\begin{align} ON=1-h; \end{align}
\begin{align} OM=\sqrt{h^2+(1-h)^2}.\tag{1}\label{eq1} \end{align}
\begin{align} OC=1;\\ CD=a;\\ OD=b.\tag{2}\label{eq2} \end{align}
Iš stačiųjų trikampių gausime:
\begin{align} \frac{MN}{ON}=\frac{h}{1-h} \end{align}
Iš čia surasime h-geometrijos tangento parabolinę funkciją \(tph\)
\begin{align} tph=\frac{h}{1-h}\tag{3}\label{eq3} \end{align} arba \begin{align} \frac{a}{b}=\frac{h}{1-h} \end{align}
Iš čia
\begin{align} h=\frac{a}{a+b}\tag{4}\label{eq4} \end{align}
Pasinaudosime sinuso ir kosinuso funkcijų sąvokos apibrėžimu ir juos žymėsime \(sph\) ir \(cph\)
\begin{align} sph=\frac{MN}{OM} \\ cph=\frac{NO}{OM} \end{align}
Nesunku įrodyti, kad:
\begin{align} sph=\frac{h}{\sqrt{h^2+(1-h)^2}} \tag{5}\label{eq5} \end{align}
\begin{align} cph=\frac{1-h}{\sqrt{h^2+(1-h)^2}} \tag{6}\label{eq6} \end{align}
Atvirkštinių funkcijų išraiškos:
\begin{align} sph=\frac{h}{\sqrt{h^2+(1-h)^2}}=z\\ h=\frac{z}{z+\sqrt{1-z^2}} \tag{7}\label{eq7} \end{align} \begin{align} cph=\frac{1-h}{\sqrt{h^2+(1-h)^2}}=z\\ h=1-\frac{z^2-z\sqrt{1-z^2}}{2z^2-1} \tag{8}\label{eq8} \end{align}
\begin{align} tph=\frac{h}{1-h} \tag{9}\label{eq9} \end{align}
Tai yra sinusas \(sph\), kosinusas \(cph\) ir tangentas \(tph\) h-geometrijoje. Tai paprastos algebrinės išraiškos. Tai ir yra „dovana“ už tai, kad atsisakėte 𝜋.
Kada reikia sulyginti vienos ir kitos geometrijos pagrindu gautus skaičiavimo rezultatus, naudojamos šios formulės
\begin{align} \alpha=\arctan\left(\frac{h}{1-h}\right) \tag{10}\label{eq10} \end{align}
\begin{align} h=\frac{tan\alpha}{1+tan(\alpha)} \tag{11}\label{eq11} \end{align}
Daugiau apie tai galima paskaityti [4][5][6][7]