Fizikai bandė kai ką suskaičiuoti ir atsitrenkė į sieną. Gali būti, tai viena iš įdomiausių sienų, į kurias galima atsitrenkti

DALIS 1. Paradoksas

Žmonės linkę tikėti logika ir logika dažniausiai jų nenuvilia. Visi taip pripratę, kad aplinkinis pasaulis paklūsta logikai, kad to netgi nepastebi. Ir atvirkščiai, visi baisingai stebisi, kai logika sutrinka. O ji kartais sutrinka. Sekite rankas.

Vienos bibliotekos darbuotojai nusprendė surašyti visas knygas į du storus katalogų tomus. Pirmame kataloge buvo įrašytos visos knygos, kuriose yra nuorodų į ją pačią. Antrajame kataloge – knygos, kuriose nuorodų į jas pačias nėra.

Darbą bebaigiant, bibliotekininkai sumojo, kad ir patys šie katalogai – taip pat knygos, ir jas taip pat būtina į kurį nors katalogą įtraukti. Su pirmuoju katalogu viskas aišku. Jį galima įtraukti į pirmąjį katalogą: tada pirmajame kataloge bus nuoroda į jį patį – ir pirmajame kataloge jis atsidurs visiškai teisėtai. Beje, nebus bėdos ir įtraukus į antrąjį katalogą, o į pirmąjį ne: tada pirmame kataloge nebus nuorodos į jį patį, todėl visiškai teisėtai įrašytas antrame kataloge.

Tačiau kur gi įrašyti antrąjį katalogą? Jį lyg ir būtų galima įtraukti į antrąjį katalogą, tačiau tada jame bus nuoroda į jį patį, ir todėl jis turėtų kaipmat išbraukti iš antrojo katalogo ir įtraukti į pirmąjį. Tačiau vos tik iš antrojo katalogo bus išbraukta nuoroda į jį patį, neliks jokių priežasčių puikuotis pirmajame kataloge, ir nuorodą vėl teks įrašyti į antrąjį. Ir taip be galo. Ir ką įsakysite daryti bibliotekininkams?!

Ši istorija – ne paikas pokštas, o supaprastintai išdėstytas labai svarbus matematinis paradoksas, kuris vadinasi „Russello paradoksu“ (mat Bertrandas Russellas jį kaip tik ir sugalvojo). Paspaudę šią nuorodą rasite tą patį paaiškinimą sudėtingiausiais matematiniais žodžiais.

DALIS 2. Teorema

Bertrandas Russellas apie katalogus susimąstė ne todėl, kad buvo guvaus proto (nors, žinoma, buvo) ar sumanęs paerzinti matematikus. Tiesiog matematikai tada ir patys ėmė pastebėti, kad formalios mąstymo taisyklės veikia ne visada. O būtent, jos ne visada veikia su „katalogais“: kai kokia nors operacija pritaikoma jai pačiai, neretai gaunama nelogiška velniava. Ir pats tokios operacijos naudojimas iš pirmo žvilgsnio nesukelia jokių įtarimų: pavyzdžiui, Georgas Cantoras šiuo būdu įrodė, kad realiųjų skaičių yra gerokai daugiau nei racionaliųjų, ir toks būdas pavadintas „Diagonaliniu Cantoro metodu“. Cantorui viskas pavyko kaip reikia; tačiau mūsų bibliotekininkų sumišimas liudija, kad taip gerai pavyksta ne visada.

Ir čia į sceną žengia matematikas Kurtas Gödelis. Profaniškai dėstant jo samprotavimus eiliniam skaitytojui, jis atliko štai ką: paėmė formalią matematikos postulatų (aksiomų) sistemą ir sunumeravo (katalogizavo) visas visas išvadas, kokias tik galima iš jų padaryti, vadovaujantis logikos taisyklėmis. O paskui „diagonaliniu metodu“ įrodė, kad šiame sąraše kažkurio tvirtinimo (pažymėtina, tikro tvirtinimo!) tikrai nebus. Jį paskui galima prirašyti prie aksiomų, vėl atlikti visą darbą… tačiau vėl kažkas bus praleista. Ir taip iki begalybės*, ir vargšų bibliotekininkų atveju. Tai yra „Gödelio nepilnumo teoremos“. Matematikai iš pradžių persigando, kad tai matematikos pabaiga, tačiau paskui priprato ir gyvena sau po šio atradimo štai jau greitai šimtą metų (jei tiksliau, nuo 1931 metų).

DALIS 3. Protingos mašinos kvailumas

Kai kuriems vaikams tėvai kompiuterius pirkti atsisako, ir mažyliai mąsto apie kompiuterį dieną naktį, nors jo ir neturi. Panaši istorija nutiko ir Alanui Turingui: jis daug mintijo apie kompiuterius tais laikais, kai jokių kompiuterių nebuvo nė kvapo. Jis sugalvojo tai, kas dabar vadinama „algoritmu“ – taisyklių rinkinys, kuriomis vadovaujantis, galima išspręsti kokį nors uždavinį. Mašina, vadovaudamasi taisyklėmis, atlieka žingsnius ir galiausiai pateikia sprendinį. O kartais, jei užduotis neišsprendžiama, nepateikia. Pavyzdžiui, jei paprašytume mašinos rasti didžiausią pasaulyje skaičių, ji perrinkinės skaičius po vieną, tačiau nuolatos ras vis didesnį ir atsakymo niekados taip ir nepateiks.

Tad, sumojo Turingas, kai kurie algoritmai rezultatą gali turėti, o kai kurie – ne. Paimkime kokį nors algoritmą ir pabandykime išsiaiškinti, ar jis pateiks kokį nors rezultatą? Šiaip jau tai yra dar viena matematinė užduotis. Negana to, tokias užduotis gyvi matematikai (kurių galvose smegenys, o ne Turingo kompiuteris) sprendžia nuolatos: „Ar egzistuoja skaičius, kuris…?“ – tipiška matematinės užduoties formuluotė.

Sumanūs skaitytojai, suprantantys diagоnalaus metodo fokusus, – t.y., kas nutinka, kai procedūra pritaikoma jai pačiai, – jau sumetė, koks čia kabliukas. Taip ir yra: Turingas įrodė, kad bendru atveju, nėra ir negali būti algoritmo, galinčio nustatyti, ar kuris nors algoritmas pateiks rezultatą. Jei tiksliau, su algoritmais kyla ta pati kebeknė, kokia nutiko ir su katalogais: Turingas sudėliojo tokį algoritmą, kuris pateikia sprendinį tik tada, jei… sprendinio nepateikia.

Tiek, šiaip ir pakanka, norint pereiti prie ketvirtosios mūsų pasakojimo dalies. Tačiau būtume nedovanotinai paviršutiniški, jei nepridurtume vienos pastabos. Jau minėjome, kad tokias užduotis, kaip „Ar egzistuoja…?“ arba „Įrodykite, kad neegzistuoja…“ nuolat sprendžia ne tik garbiausi matematikai, tačiau ir mokinukai, pradedant maždaug nuo penktos klasės. Kaip bebūtų, pasak Turingo, tokio tipo užduotys, remiantis formaliomis taisyklėmis, iš viso neišsprendžiamos. Čia, kaip sakoma, reikia fantazijos ir intuicijos. Maždaug taip (tik daug griežčiau) svarstė anglas matematikas Rogeris Penrose'as, įrodinėdamas, kad žmogaus mąstymo neįmanoma suskaidyti į algoritmus. Tai yra, niekados niekados nepavyks sukurti kompiuterio, kuris mąstytų žmogiškai. Negena to, jei manote, kad neuronai galvoje tiesiog vykdo algoritmus (kad ir kokius sudėtingus, besimokančius, nelinijinius, analoginius ar dar balažin kokius, nes jie visi yra pagal apibrėžimą yra Turingo sąraše), tai žinokite – ne. Jie daro kai ką kito.

DALIS 4. Prakeiktasis kristalas

Russellas istoriją apie bibliotekininkus nukabino iš palubės: realius bibliotekininkus vargu ar toks paradoksas taip sutrikdytų. Gödelis savo „neįrodomą tvirtinimą“ sukūrė irgi formaliai (nors matematikai nuo to laiko jau surinko visą pavyzdžių kolekciją). Galiausiai, Turingas savo neišsprendžiamąjį algoritmą sukonstravo irgi visiškai dirbtinai. Plačiąją visuomenę šiek tiek guodė mintis, kad mažai tikėtina, kad žmonijai kada nors kils tokia reali užduotis, kurią spręsdamas, mūsų protas atsitrenks į matematikų nuspėtą sieną. Bandyta sugalvoti pavyzdžių, tačiau visi jie pasirodė laužti iš piršto.

Ir štai, ateina anglas, ispanas bei vokietis ir sako, yra kristalas (kristalą jie išgalvojo, reikia pripažinti, gan keistą, tačiau kristalų visokiausių būna). Kristalas dvimatis ir begalinis – tokia plona plokštelė nuo horizonto iki horizonto. Kristalas, kad žinotumėte, turi energijos lygmenis (to suprasti nebūtina, čia paprasčiausiai dėl ryšio), ir kartais tarp apatinių lygmenų yra plyšys, o kartais nėra, ir tada kristalas gali, tarkime, tapti superlaidžiu. Štai, pabandykime sužinoti, gali kristalas būti superlaidus ar ne? Yra plyšys tarp lygmenų ar ne?

Ir paaiškėjo, kad šios savybės skaičiavimo algoritmas ir yra kuo tikriausias paradoksiškasis Turingo algoritmas. Tai yra, rezultato jis nepateikia. Taip yra ne dėl to, kad algoritmas blogas: geležinė logika tvirtina, kad BET KURIS skaičiavimo būdas čia neišvengiamai atsirems į sieną. Matematika ir logika IŠ PRINCIPO neleidžia prognozuoti, tarkime, bus ar nebus tas keistasis kristalas superlaidus. Tai yra, konkretus kristalas, aiškus daiktas, būna arba toks arba toks – ir šiuo atveju algoritmas, savaime suprantama, pateikia rezultatą, bukai patikrinęs visus atomus. Tačiau niekas negali garantuoti, kad nuo kažkurio atomų skaičiaus viskas nepasikeis ir savybė nepranyks. Ir šių kritinių kristalo matmenų iš anksto numatyti neįmanoma. Tai yra, ne „labai labai sudėtinga“, ar „teks skaičiuoti ilgiau, nei gyvuoja visata“, o iš viso neįmanoma.

Tikiuosi, jau supratote, kad tai baisiai svarbu. Jei ne, grįžkime į pradžią: žmonėms (o mokslininkams – ypatingai) būdinga galvoti, kad pasaulis paklūsta logikos ir matematikos taisyklėms. Ir jis išties jiems paklūsta. Ir būtent dėl šių taisyklių pasaulyje yra dalykų, kurie matematiniu požiūriu yra atsitiktiniai. Tai yra, gali būti taip, o gali būti ir kitaip ir nei tai, nei tai nevyksta dėl ko nors. O šie „dalykai“ guli ne už septynių kalnų, tai gali būti tiesiog plonos kristalinės plokštelės savybė, kurią kuo paprasčiausiai galima apibrėžti eksperimentiškai. O štai numatyti ją proto galia – nė pro kur.

Nuodugniai ir visiškai populiariai su šiuo darbu galima susipažinti populiariojoje žurnalo Nature dalyje. Pažymėtina, kad patys autoriai visai nešaukia atradę svarbiausią reiškinį mokslo istorijoje – jie apsidraudžia, kad, girdi, ir jų sugalvotasis kristalas gan dirbtinis, ir gamtoje neregėtas, ir svarstymai, nors iš pirmo žvilgsnio lyg ir teisingi, tačiau klaidų šviežiu žvilgsniu paieškoti verta. Gal visa tai ne taip jau svarbu, kaip atrodo iš antro žvilgsnio (iš pirmo tai viskas pasaulyje atrodo gryni niekai, tai jau patikrinta). O gal ir išties svarbu.

O dar autoriai apsidraudžia – mūsų skaitytojams į visa tai garantuotai nusispjauti, tačiau dėl šventos ramybės paminėsime, – lygiai tokia pati baigtis gali tykoti ir su kita fizikine problema, vadinama „masės problema“. Labai supaprastinant – kodėl dalelių masės yra tokios, o ne kokios nors kitokios? Ši „Yango Millso problema“ vadinama viena iš „tūkstantmečio užduočių“, ir už jos sprendimą priklauso milijono dolerių prizas. Jei kas nors įrodys, kad ji neišsprendžiama iš principo, – už tai, reikia manyti, vis viena milijoną dolerių duos – neprapulti gi pinigams. Ir jei įrodys, kad tai, apie ką čia nuodugniai parašėme, nėra niekai, duos šiuos pinigus. Čia tam atvejui, jei pirmieji argumentai iki jūsų taip ir neprisibeldė.

Linkiu skaitytojams (o ir sau), kuo gilesnio čia iškeltų klausimų supratimo. Na, o jeigu ne – vadinasi, nelemta.

A. Aleksenko
snob.ru

Komentarai (4)