Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad investavimas finansų rinkose yra paprastas dalykas. Daugelis žmonių tiesiog eina į banką ir dalį savo pinigų padeda į taupomąją sąskaitą. Geriausiu atveju nusiperka obligacijų arba taip vadinamų nerizikingų vertybinių popierių.

Šiuolaikinė išvestinių finansinių priemonių  įkainojimo technika remiasi sudėtingiausiais matematiniais metodais, taikomais finansuose. O pritaikymo sričių yra labai įvairių – pavyzdžiui, panagrinėkime opcionus bei kam juose reikia taikyti įvairius matematinius metodus. 

Pasirinkimo sandorio (opciono) sąvoka turi gilias istorines šaknis. Antikos laikais romėnai, graikai ir finikiečiai prekiavo išvykstančių iš vietinių uostų  laivų krovinių opcionais. Finansinių aktyvų atveju opcionas bendruoju atveju apibrėžiamas kaip sandoris tarp dviejų šalių, kurių viena turi teisę, bet ne įsipareigojimą pirkti ( pirkimo opcionas) ar parduoti ( pardavimo opcionas) pagrindinį aktyvą, pvz. akcijas tam tikru laiku už iš anksto nustatytą kainą. Tuo tarpu antroji pusė pareikalavus pirmajai privalo įvykdyti sandorio sąlygas. Opciono pirkėjas turėdamas teisę be įsipareigojimo įgyja tam tikrą vertę, todėl opciono turėtojas turi sumokėti už šią teisę kažką pirkti ar parduoti. Kaina, kuri  sumokama už opcioną vadinama premija. Jei opciono pabaigoje akcijos kaina pakyla aukščiau sutartos kainos, tai pirkimo opciono savininkas perka akciją už žemesnę kainą ir ją pardavęs rinkoje už aukštesnę kainą uždirba  pelno. Jei akcijos kaina nepakyla aukščiau sutartos kainos, tai opcionas nerealizuojamas ir opciono turėtojas patiria nuostolį, lygų opciono pirkimo kainai. Matematinė problema yra teisingai nustatyti opciono kainą, kuria būtų patenkintos abi sandorio pusės ir tuo pačiu nebūtų pažeista finansų rinkos pusiausvyra. Svarbiausias uždavinys yra prognozuoti pagrindinio aktyvo atsitiktinės kainos dinamiką arba nustatyti aktyvo kainos skirstinį opciono realizavimo metu. Tam reikia sukurti matematinį modelį.

Mintis taikyti matematinius metodus prognozuojant ateitį jau kilo dviems XVII a. prancūzų matematikams Blaise Pascal ir Pierre De Fermat (žinomas kaip paskutinės Ferma teoremos autorius).  Šie mokslininkai  susirašinėdami 1654 m. apskaičiavo žaidimo, metant du lošimo kauliukus fiksuotą skaičių kartų, visų galimų baigčių tikimybes.

Tarkime Jonas ir Petras žaidžia azartinį žaidimą, kuris iš jų laimės penkis kartus metant du lošimo kauliukus? Po trijų metimų Jonas pirmauja 2:1. Kokia teisingą sumą jus turite statyti  lažinantis, kad laimės Petras, jei aš moku 100Lt jam laimėjus? Pascal ir Fermat parodė  kaip rasti teisingą atsakymą. Pagal juos tikimybė, kad Petras laimės lygi 0,25. Šiuo atveju, jei aš sutinku, kad statytumėte 25Lt , tai mano siūloma suma yra visai teisingai įvertinta. Statoma suma mažesnė už 25lt yra naudingesnė jums,  o suma didesnė negu 25Lt yra palankesnė man. Matematiniai modeliai nepanaikina rizikos, o tik teisingai nustato kainą su kuria abi besilažinančios pusės yra vienodose sąlygose.

Taigi, jei matematika gali padėti nustatant teisingas lažybų sumas, neabejotinai ji turi padėti ir sprendžiant finansines opcionų problemas. Pirmieji opcionų įkainojimo metodai kilo iš stochastinio skaičiavimo. Galima laikyti, kad tam impulsą davė 1877 Charsle Castelli išleista knyga “ The Theory of Options in Stocks and Shares”. Knygos autorius supažindino skaitytojus su opcionų panaudojimu apsidraudžiant nuo  galimo kainų sumažėjimo ir spekuliavimo aspektais. Tačiau joje nebuvo pateiktas teorinis pagrindimas. Po dvidešimt trejų metų Louis Bachelier iš Sorbonos universiteto savo matematikos disertacijoje “Theorie de la Speculation” pasiūlė, kaip manoma,  patį  pirmąjį analizinį opcionų įkainojimo modelį. Šio darbo pagrindinis trūkumas buvo tas, kad jis panaudojo vertybinių popierių kainų dinamikos modelį, kuris generavo neigiamas kainas, o opcionų kainos viršydavo bazinio aktyvo kainą. Bachelier darbu susidomėjo Paul Samuelson, kuris 1955 parašė nepaskelbtą straipsnį “Brownian Motion in the Stock Market”. Tais pačiais metais jo mokinys Richard Kruizenga citavo Bachelier darbą savo disertacijoje “Put and Call Options: A Theoretical and Market Analysis”. 1962 m. A. James Boness   disertacijoje “A Theory and Measurement of Stock  Option Value”  išvystė opcionų įkainojimo modelį. Tai  buvo padarytas šuolis vystant opcionų įkainojimo matematinę teoriją, lyginant su  pirmtakais.

Black ir Scholes išvesdami akcijų opcionų įkainojimo formulę, autoriai priėmė “idealias sąlygas”, kurias turi išpildyti akcijų ir opcionų rinka:

• Nerizikingoji palūkanų norma yra pastovi ir žinoma .
• Už pagrindinį aktyvą (akciją) per opciono gyvavimo laikotarpį nemokami dividendai.
• Nagrinėjamas europietiškasis pardavimo opcionas.
• Pagrindinio aktyvo kaina kinta pagal  geometrinį Brauno judesį su trendo ir difuzijos koeficientais, proporcingais aktyvo kainai.
• Prekyba rinkoje vyksta nepertraukiamai (tolydžiai)
• Nėra apribojimų nepadengtajam pardavimui (short selling)
• Nėra arbitražo galimybės (nearbitražinė rinka)
• Nėra sandorių kaštų, o aktyvai yra neaprėžtai dalūs.

                Black ir Scholes opciono įkainojimo formulė yra tokia:

 ,    

C(S_t,t) – teorinė opciono kaina (premija); S_t – esamoji aktyvo kaina; T – t – opciono trukmė;  K – opciono įvykdymo kaina; r – nerizikingoji palūkanų norma; sigma – aktyvo pelno normos standartinis nuokrypis arba nepastovumo parametras (volatility);

;    .

Pastaruoju metu įkainojant opcionus ir kitus vertybinius popierius dažniausiai naudojami trys matematiniai metodai: stochastinių diferencialinių lygčių, martingalų ir binominiai.

Įkainojant išvestinius vertybinius popierius, pvz. akcijų pirkimo ar pardavimo pasirinkimo sandorius, reikia turėti pakankamai gerą bazinio  aktyvo (akcijos) vertės dinamikos matematinį modelį. Paprastai reikia žinoti  finansinio aktyvo kainų skirstinį pasirinkimo sandorio pabaigoje, t.y. galimas jo kainas ir atitinkamas jų tikimybes. Dažnai apie kainų skirstinį priimama tam tikra prielaida. Pvz., išvedant žymiąją Black ir Scholes pasirinkimo sandorių įkainojimo  formulę, buvo tariama, kad akcijų kainos kinta pagal geometrinį Brauno judesio procesą. Kitaip tariant, akcijų kainų grąžų logaritmai pasiskirstę pagal normalųjį dėsnį. Su šia prielaida akcijų kainos išreiškiamos per Gauso skirstinį ir lengvai skaičiuojamos, nes gaunamos analizinės raiškos.

Empiriniai tyrimai rodo, kad pastaraisiais metais tik dalies akcijų grąžos pasiskirstę pagal lognormalųjį dėsnį. Pastebėta, kad finansinių aktyvų grąžos, ypač jei matavimo dažnis didelis (kas dieną, ar kas kelios valandos), pasižymi dideliu eksceso koeficientu, kuris auga didėjant grąžų matavimo dažniui. Didelis eksceso koeficientas lemia ir didesnę ekstremaliųjų reikšmių tikimybę – sunkesnes, nei normaliojo skirstinio, uodegas. Todėl tam tikroms grąžoms daryti normalumo prielaidą yra nekorektiška.

 Todėl pastaraisiais metais vis didesnį dėmesį tyrėjai skiria stochastiniams modeliams, besiskiriantiems nuo klasikinių difuzinių modelių. Kai kurie autoriai siūlo normalųjį skirstinį pakeisti kitais, geriau tinkančiais skirstiniais. Pastaruoju metu tapo populiarūs - stabilieji skirstiniai ir Levy procesai. Parenkant (kalibruojant) tinkamus skirstinio parametrus, galima pakankamai gerai aproksimuoti akcijų grąžų skirstinius. Tokių modelių pagrindinis trūkumas yra tas, kad gaunamos sudėtingos skirstinių analizinės raiškos ir gauti diferencialines lygtis, kurias išsprendus gaunamos pasirinkimo sandorių kainos, dažniausiai nepavyksta. Todėl pastaruoju metu kaip alternatyva tokiems modeliams plačiai  naudojamas skaitinis modeliavimas, kuris ženkliai suprastina  praktinių uždavinių sprendimą ir išplečia sprendžiamų uždavinių klasę.

Nuo 1973m.  Black ir Scholes modeliu  susidomėjo daugelio sričių  mokslininkų,  tame tarpe ir matematikai. Buvo išleista daugybė knygų ir paskelbta straipsnių, kuriuose originalusis modelis  buvo labai praplėstas. Kuriant naujus modelius buvo atsisakyta daugelio apribojimų. Sukurti Black ir Scholes matematiniai modeliai akcijų, indeksų, palūkanų normų, valiutos, ateities sandorių opcionams. Taikant šiuolaikinius matematinius metodus, labai išsivystė finansų matematikos kryptis, kurią nagrinėja taikomosios matematikos mokslas. Buvo sukurti nauji vertybinių popierių įkainojimo metodai bei naujos jų rūšys.

Kadangi daugelis procesų, kuriais siūloma aprašyti kainų dinamiką, turi Markovo proceso savybių, tai tikslinga kainų kitimą aprašyti Markovo procesu. Kauno technologijos universitete Matematinės sistemotyros katedroje yra kuriami matematiniai modeliai, pagrįsti Markovo procesais su skaičių būsenų erdve ir tolydžiųjų laiku, modeliuoti finansų rinkas. 

Visas šias investavimo subtilybes KTU Matematikos ir gamtos mokslų fakulteto (buvusio Fundamentaliųjų mokslų fakulteto) mokslininkai ne tik tyrinėja, bet ir to moko Taikomosios matematikos specialybės studentus.  Apie finansų rinkų modeliavimą studentams skaitomi tokie kursai: Investicijų matematika, Rizikos valdymas, Draudos matematika, diskretieji bei tolydieji finansų matematikos modeliai. Tad besidominančius finansų rinkomis bei jų matematini modeliavimu siūlome esamas žinias pagilinti bei sužinoti naujų  studijuojant Taikomosios matematikos specialybę, kuri pastaraisiais metais vis labiau populiarėja į verslą taikančių jaunuolių tarpe.

Doc. dr. Eimutis Valakevičius,
Matematinės sistemotyros katedra,
Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas (buvęs Fundamentaliųjų mokslų fakultetas)
Kauno technologijos universitetas 

Komentarai (2)