Šiose išraiškose kinetinę energija pažymėjome raide w. Pastebėkite, kad išraiškose prie w yra indeksas i arba j. Šie indeksai žymi dvi skirtingas susidūrime dalyvaujančias daleles. Atkreipkite dėmesį į tai, kad kairėje lygybės pusėje kinetinė energija yra užrašyta laiko momentu t+1, o dešinėje – laiko momentu t. Čia slypi dar viena svarbi prielaida – tarp laiko momentų t+1 ir t teturi įvykti lygiai vienas susidūrimas tarp dalelių. Taip pat abejų išraiškų dešinėje pusėje yra antrasis narys, Δw_ij, skiriasi tik jo ženklas, nusakantis dalelės energijos pokytį (gavimą ar praradimą). Klasikinėje mechanikoje šį energijos pokytį galėtume suskaičiuoti, pasinaudodami impulso tvermės dėsniu, bet dėl molekulinio chaoso hipotezės galima tiesiog tarti, kad energijos pokytis yra atsitiktinis:

Šioje išraiškoje ε yra atsitiktinis skaičius didesnis už (ar lygus) 0 ir mažesnis už (ar lygus) 1. Paprastumo dėlei, nes tiksliai pasakyti būtų sunku, tarkime, kad ε skirstinys yra tolyginis (visos vertės pasirinktame intervale yra vienodai tikėtinos). Įdomu, kad šiuo paprastu „atsitiktinio sumaišymo“ modeliu atkuriame gerai žinomą faktą – dalelių kinetinių energijų skirstinys atitinka Bolcmano-Gibso skirstinį.

Savu laiku Pink Floyd dainavo Money, it’s a gas, (pinigai – tai dujos), tad ir mes veskime paralelę tarp indo pilno idealių dujų dalelių ir neidealių žmonių ekonominės veiklos. Tarkime, kad idealių dujų dalelių kinetinė energija atitinka žmonių turtą, o susidūrimai – jų sudaromus sandorius. Sandorių pasekmė – vieni žmonės gauna produktą, kurį gali suvartoti, o kiti mainais iš jų gauna pinigus. Sakydami, kad produktų įvairovė didelė, galime paaiškinti skirtingas galimas ε vertes.

Įdomu, kad produktų, ar jų „kainų“ įvairovė modelyje nėra būtina. Galima būtų tarti, kad visi susidūrimai iš esmės yra vienodi - dalelės apsikeičia tuo pačiu „pinigų“ kiekiu:

Šiuo „fiksuotų mainų“ atveju dalelių kinetinės energijos (žmonių turtas) vis tiek bus pasiskirsčiusios pagal tą patį Bolcmano-Gibso skirstinį.

Tai, kad darydami pakeitimus, gauname vis tą patį rezultatą, – beje tolimą nuo realaus turto skirstinio – optimizmo neįkvepia, nes rodo, kad visiškai elementarus modelis neveiks – reikės rimtesnių pakeitimų. Įkvėpimo šiems pakeitimams pabandykime pasisemti iš realaus gyvenimo.

Įmanomos dvi, iš pirmo žvilgsnio viena kitai priešingos modelio modifikacijos – priversti daleles taupyti arba leisti joms skolintis ribotą sumą. Šias abi modifikacijas aptariame kartu, nes abiem atvejais energijos pokyčio formulė bus iš esmės tokia pati, kaip „atsitiktinio sumaišymo“ atveju. Vienintelis skirtumas – dalelių kinetinė energija bus dirbtinai sumažinta (nes dalelės bus priverstos taupyti) arba dirbtinai padidinta (nes dalelės galės skolintis). Abu šiuos atvejus galima interpretuoti kaip tam tikro energijos minimumo, w_mm, nustatymą – jeigu minimali energija teigiama, tai dalelės bus priverstos taupyti, o jeigu minimali energija neigiama, tai joms bus leidžiama „skolintis“ iki tos „vertės“.

Šiuo „fiksuoto minimumo“ atveju mes vis dar stebime Bolcmano-Gibso skirstinius, bet jis jau pastebimai nukrypsta nuo to, kurio galima būtų tikėtis jei minimumas būtų užfiksuotas ties nuliu („atsitiktinio sumaišymo“ atvejis). Šioje programėlėje vaizduojami du Bolcmano-Gibso skirstiniai – pirmasis atitinka „atsitiktinio sumaišymo“ atvejį, o antrasis – analizinę išraišką „fiksuoto minimumo“ atvejui. Šioje programėlėje verta pastebėti tai, kad kuo daugiau leidžiame skolintis (didelės neigiamos w_mm vertės), tuo labiau dalelių energijų (žmonių turto) skirstinys artėja prie tolygaus skirstinio, o visa sistema tampa nestabili. Tuo tarpu w_mm artėjant prie 1, stebimo skirstinio polinkis didės – dalelių energijos bus vienodesnės.

Visgi, nepaisant pažangos (nukrypstame nuo skirstinio, kurį prognozuoja „atsitiktinio sumaišymo“ modelis), realaus žmonių turto pasiskirstymo vis dar neatkūrėme. Esminis skirtumas tarp realybės ir lig šiol aptartų modelių rezultatų yra tas, kad Bolcmano-Gibso skirstinys yra eksponentinio pobūdžio, o realybėje turto skirstinys turi laipsninio pobūdžio uodegą. Pirmasis laipsninį turto pasiskirstymo pobūdį pastebėjo Paretas, tad literatūroje galima dažnai išvysti terminą „Pareto uodega“.

Lygindami eksponentinio pobūdžio ir laipsninio pobūdžio skirstinius, matome, kad pirmieji greičiau „gęsta“. Kitaip tariant, eksponentinio pobūdžio skirstinių tikėtinų verčių intervalas bus žymiai siauresnis nei laipsninio pobūdžio skirstinių. Pavyzdžiui, žmonių ūgio skirstinys veikiausiai būtų eksponentinio pobūdžio, mat daug žmonių yra maždaug to paties ūgio (1.5 – 2 m). Jeigu žmonių ūgio skirstinys būtų laipsninio pobūdžio, tai gali būti visai tikėtina gatvėje neretai išvysti tiek 15 cm ūgio nykštukus, tiek 20 metrų ūgio milžinus. Ekstremalių verčių, tolimų nuo vidurkio, tikimybės laipsniniuose skirstiniuose žymiai didesnės nei eksponentiniuose. Tai nesunku pastebėti žvelgiant į žmonių turtą – labai daug žmonių gyvena ties skurdo riba, bet taip pat yra palyginus daug milijardierių.

Tobulindami matematinį modelį, galime žengti link santykinio taupymo. Žodžiais taisyklę suformuluoti paprasta – dalelės pasilieka tam tikrą dalį turimos energijos sau (κw_i), o likusios energijos mainai vyksta kaip apibrėžta „atsitiktinio sumaišymo“ atveju. Matematiškai viskas paprasčiau:

„Santykinio taupumo“ atveju gausime nebe Bolcmano-Gibso kinetinių energijų skirstinį, bet Gamma skirstinį. Visgi, tai dar nėra esminis proveržis, nes Gamma skirstinys aprašo idealių dujų dalelių kinetinės energijos skirstinį, kai dalelės juda daugiamatėje erdvėje. Šiuo atveju κ parametras nulemtų erdvės matiškumą, d:

Įstatę κ=0 (jokio taupymo), matome, kad lig šiol nagrinėti modeliai aprašytų dvimates (d=2) idealias dujas.

Ženkime dar vieną, gan realistišką, žingsnį – kiekvienai dalelei suteikime nuosavą santykinį „taupumą,“ κ_i. Juk ekonominiu atžvilgiu, visi žmonės yra šiek tiek skirtingi – jie gali turėti skirtingus polinkius „taupyti.“ Tokiu atveju energijos pokytį galima būtų apibrėžti taip:

Skaičiuojant analitiškai, manipuliuojant algebrinėmis išraiškomis, galima būtų parodyti, kad jei κ_i vertės pasiskirsčiusios tolygiai, tai energijų (turto) skirstinys turės pastebimą laipsninę uodegą (kurios laipsnio rodiklis bus artimas -2).

Taigi, galiausiai atkuriamas skirstinys kokybiškai panašus į realiai stebimą turto skirstinį. Atskiroms valstybėms skirstinio laipsnio rodikliai gali turėti kitokias vertes nei -2. Kuo šis laipsnio rodiklis artimesnis nuliui, tuo didesnė turto nelygybė nagrinėjamoje valstybėje. Didėjant laipsnio rodikliui, didės turtingųjų dalis visuomenėje.

Baigiant tekstą, svarbu paminėti, kad čia sukonstravome tik patį paprasčiausią ir paviršutiniškiausią galimą modelį. Šiame modelyje ignoravome infliaciją, kartų keitimąsi, ekonomikos būklę, valstybės mokesčių politiką ir kitus svarbius išorinius ir vidinius veiksnius. Šiame modelyje taip pat įsivedėme „taupumo“ parametrą, kuris ne tik atspindi atskirų žmonių gebėjimą taupyti (ar protingai elgtis su pinigais), bet ir realias jų galimybes tą daryti. Galimybės taupyti savo ruožtu gali priklausyti nuo daugelio socialinių ir ekonominių veiksnių. Taigi, tikėtina, kad net jei pradėsite nuoširdžiai taupyti, vargu ar greitu laiku tapsite milijonieriais. Kita vertus, finansinė drausmė dar niekam nepakenkė.

Šis tekstas buvo parašytas, remiantis Chakrabarti, Chakraborti, Chatterjee, Patriarca ir Yakovenko moksliniais darbais. Kiek plačiau, ir kiek labiau techniškai, šių mokslininkų darbų medžiaga buvo aptarta Rizikos fizikos straipsnių cikle „Kinetiniai modeliai“. Skaitytojams turėtų patikti politiškai aktualus šaržas „Socializmas ir kapitalizmas kinetiniuose modeliuose“.

Aleksejus Kononovičius
VU Teorinės fizikos ir astronomijos instituto jaunesnysis mokslo darbuotojas

Komentarai (2)