Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos instituto mokslo darbuotojas Dainius Dzindzalieta matematikos aistruoliams vėl meta iššūkį.

Jis dalijasi uždaviniu, kurio palengvintos versijos buvo skelbtos Šiauliuose 2015 metais vykusioje Lietuvos 6-8 klasių jaunųjų matematikų olimpiadoje.

„Šeštokų buvo prašoma rasti bent vieną tokį skaičių rinkinį, kuris tenkina duotą sąlygą. Septintokams ir aštuntokams užduotis buvo palengvinta pateikiant užuominas apie galimą atsakymą“, – prisiminė jis.

Siūlo išbandyti savo jėgas:

Pasak D. Dzindzalietos, šis uždavinys – nestandartinis, nes dažniausiai tokio tipo uždaviniuose yra prašoma raides pakeisti skaitmenimis. Šiuo atveju to neužtenka.

„Reikia dar ir pasirūpinti, kad nurodyta suma būtų kuo didesnė/mažesnė“, – perspėjo matematikas.

Jis pripažino, kad šis uždavinukas nėra toks lengvas, kaip atrodo, bet guvus aštuntokas tokį greičiausiai įveiktų.

Sprendimas

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

„Turbūt, kaip ir kiekvienas panašus uždavinys, šis uždavinys yra pradedamas spręsti, pabandant gauti prašomą rezultatą. Atsakymą atspėti nėra sunku, bet daugiausiai problemų iškyla, kai reikia įrodyti, kad būtent gautasis rezultatas yra tikrasis atsakymas“, – pristatydamas sprendimą aiškino matematikas.

1. Didžiausia sumos reikšmė

Skaitmenys J, Ė, G ir A yra skirtingi, todėl J+Ė+G+A≤9+8+7+6=30. Nesunku gauti pavyzdį, kai J+Ė+G+A=5+7+8+9=29. Dabar lieka tik arba rasti pavyzdį, kai suma lygi 30, arba parodyti, kad taip negali būti.

Po kažkiek laiko praleisto bandant gauti 30 pradeda suktis mintys, kad tai neįmanoma, be to, olimpiadose dažnai besilankantis mokinys užuodžia klastą ir atspėja, kad jei atsakymas būtų 30, tai uždavinys būtų per daug lengvas. Dėl šios priežasties, pabandome parodyti, kad suma negali būti lygi 30.

Tarkime, kad J+Ė+G+A=30. Tada po skaitmenimis J, Ė, G ir A paslėpti skaičiai 6, 7, 8 ir 9, nes kitu atveju suma būtų mažesnė nei 30. Pirmiausiai pastebime, kad A yra lygus arba 8 arba 9, nes G,A≥6.

Panagrinėjame abu atvejus atskirai.

Jei A=8, tai U+I=8. Kadangi U,I≤5 ir I+I≤9, tai U=5, o I=3. Iš to G=6, o Ė=7. J reikšmei belieka vienintelis atvejis J=9=Š+L. Kadangi U=5, tai Š,L≤4, bet tada niekaip negalime gauti lygybės 9=Š+L.

Prieštara.

Jei A=9, tai vėl gauname, kad U=5, o I=4. Atitinkamai gauname, kad G=8 ir Ė=8, ko negali būti. Vėl gauname prieštarą. Vadinasi, sumos J+Ė+G+A reikšmė negali būti lygi 30.

2. Mažiausia sumos reikšmė

Vėl nesunku atspėti atvejį, kai J+Ė+G+A=11. Kaip ir didžiausios sumos atveju, pastebėkime, kad J+Ė+G+A≥Š+L+Ė+G+A=0+1+2+3+4=10.

Tarkime, kad J+Ė+G+A=10. Tokiu atveju A≥5, todėl J=Š+L+1. Dėl to, J+Ė+G+A≥Š+L+1+Ė+G+A=0+1+2+3+4+1=11>10.

Prieštara.

Kadangi turime pavyzdį su J+Ė+G+A=11, tai atsakymas yra 11.

Komentarai (0)