Kaip susijusi matematika su kompiuteriais? Atsakymą turbūt žino daugelis technologijų gerbėjų – kompiuterių procesoriai daugiau nieko ir nedaro, tik skaičiuoja įvairias išraiškas, o gauti rezultatai ir yra tai, ko tikimasi iš kompiuterio – žaidimai, filmai, taikomųjų programų duomenys. Kuo kompiuteris galingesnis, tuo greičiau jis skaičiuoja įvairias operacijas, tuo greičiau pateikiami rezultatai, tuo maloniau su juo dirbti.

yra seniai skaičiuojama ir šiuo metu pasiektas naujas rekordas - 5 trilijonai skaitmenų po kablelio. Tiesa, neaišku, kam to reikia. Realiai dažniausiai apsiribojama šešiais ar devyniais skaitmenimis. Skaičius π tapo matematikos simboliu, pasaulyje netgi švenčiama π diena. Pats skaičius yra žinomas seniai ir atsirado tada, kai buvo ieškoma kaip surasti apskritimo ilgį, jeigu žinomas apskritimo diametras. Pradžioje empiriškai, o vėliau ir teoriškai nustatyta, kad bet kokio apskritimo ilgio santykis su jo diametru yra pastovus dydis ir tą skaičių (1) pažymėjo raide π.

Dar 300 metų prieš mūsų erą, astronomai pasiūlė apskritimą padalinti į 360 dalių ir vieną dalį atitinkanti kampo dydį pavadino laipsniu. Kampo dydžio matavimas laipsniais plačiai naudojamas ir dabar. Kiek vėliau buvo pasiūlyta kampo dydį matuoti apskritimo lanko ilgiu. Toks kampo matavimo vienetas vadinamas radianu. Radianas tai toks apskritimo lanko ilgis, kuris lygus apskritimo spinduliui. Apskritimo ilgis turi 2π radianų. Vėliau pasirodė, kad visuose skaičiavimuose kampų dydžiai turi būti išreikšti ne laipsniais, o radianais α.Dažniausiai kampų dydžiai išreikiami laipsniais, minutėmis ir sekundėmis. Todėl beveik visada laipsnius reikia persiskaičiuoti į radianus. Tam naudojama formulė

kur π yra iracionalus skaičius (1).

Kiek vėliau atsirado sinuso – sin(α), kosinuso – cos(α) ir tangento – tan(α) sąvokos. Tai transcendentinės funkcijos, neturinčios algebrinių išraiškų. Todėl ilgai šių funkcijų reikšmės buvo randamos lentelėse. Po kurio laiko buvo surastas šių funkcijų skaičiavimo būdas, išskleidžiant jas begalinėmis eilutėmis. Taip funkcija sin skleidžiama begaline eilute:

Panašiai skleidžiamos cos ir tan funkcijos.

Iš to kas pateikta, seka, kad ten kur turime reikalų su kampais ir trigonometrinėmis funkcijomis, esame priversti naudoti iracionalų skaičių π (1), (2) ir begalines eilutes (3). Kadangi skaičiavimuose naudojame tik begalinės eilutės (3), dalį, o skaičiaus π dydis taip pat yra apribojamas keliais ženklais po kablelio, o ne begalinė skaičių seka, todėl iš principo visi skaičiavimai (bent jau teoriškai) yra apytiksliai. Kita, ne mažiau aktuali problema, yra kompiuterinio laiko minimizacijos klausimai. Kadangi daugelis skaičiavimų kosminėje mechanikoje ir kosminėje navigacijoje susiveda į didžiulių matricų sistemas, kuriose yra daugybė sinusų ir kosinusų, šių funkcijų skaičiavimai begalinių eilučių metodu, nežiūrint išaugusios kompiuterių spartos, užima daug mašininio laiko. Kosminės mechanikos skaičiavimuose ir raketinės balistikos uždaviniuose mašininis laikas dažnai būna labai ribotas. Kaip pasakė vienas profesorius, visą gyvenimą dirbantis kosminės technikos srityse, „mums viena milisekundė turi aukso kainą“ Panašūs uždaviniai iškyla ir įvairiose mechanikos srityse, geodezijoje, lėktuvų aerodinamikoje ir kitose srityse.

Dar 1987m. šių eilučių autorius, kurio visas gyvenimas buvo susijęs iš pradžių su kompiuterių kūrimų, o vėliau jų panaudojimu ( Gražina Kriščiukaitienė – Kompiuterijos pradininkas Lietuvoje. „Mokslas ir technika“ 2010m. Nr.5), pasiūlė naudoti naują kampų matavimo metodiką. Kampo dydį matuoti ne laipsniais ar radianais, o aukštinės ilgiu – h. Kintant kampui nuo 0 iki 90 laipsnių, parametras h kinta nuo 0 iki 1.

Tai h-geometrijos pagrindas. H-geometrijos metodai ir išleistos keturios knygos (Pavyzdžiui, Donaldas Zanevičius h-geometry. Neo-sines in space mechanics. Vilnius 2010 „RDI grupė“. Mokslas - Fiziniai mokslai - h-geometry); buvo apsvarstyti Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos institute 2009 m. spalio 21d.

H geometrijoje trigonometrinės funkcijos žymimos sph, cph ir tph. Jos turi algebrines išraiškas.

Kaip matome, visos trigonometrinės funkcijos h-geometrijoje turi algebrines išraiškas. Ryšys tarp klasikinės trigonometrijos kampo, matuojamo radianais α ir h-parametrų nustatomas taip:

Ką h-geometrija duoda praktiniuose skaičiavimuose?

Pateiksime porą pavyzdžių. Vienas paprastesnis iš studentams skirto „Teorinės mechanikos“ vadovėlio, kitas iš uždavinių, kuriuose naudojamasi sferinės trigonometrijos metodai.

Pirmasis. Kranu keliama gelžbetoninė plokštė. Prie plokštės prikabinami trys lynai. Reikia surasti jėgas, kurios veikia lynus. Pasinaudojus teorinės mechanikos metodais, parašomos lygtys, kurių sprendimai ir duoda atsakymą, kokios jėgos keliant plokštę veikia lynus. Duodama formulė, kad lyną A veiks jėga

Kampai (5) apskaičiuojami, išskleidus funkcijas atan begalinėmis eilutėmis. Čia a, b, d yra plokštės gabaritai. P yra plokštės svoris. Formulėje (4) esančių trigonometrinių funkcijų sin ir cos reikšmes suskaičiuojame taip pat – išskleidžiame šias funkcijas begalinėmis eilutėmis.

Tuo tarpu, naudojantis h-geometrijos metodais vietoje (4),(3),(5) galėsime parašyti

Skaičiavimo rezultatus gausime lygiai tokius pat. Tačiau skaičiavimo technologijų (kompiuterinio laiko) prasme skaičiavimai naudojantis (6) yra nepalyginamai paprastesni nei skaičiavimai (4),(3),(5) ir dar atan, cos skaičiavimai.

Pavyzdys. Duota – a=1, b=0.75, d=2, P=4.

Skaičiuojant klasikinės geometrijos formulėmis (5), (3), (4) ir h-geometrijos formule (6), gausime vienodą rezultatą

Tačiau skaičiavimo technologijos, bei kompiuterinio laiko prasme skaičiavimai h-geometrijos matematiniu modeliu (6) yra žymiai efektyvesnis.

Matematiniai modeliai, panašūs į modelį (4) yra naudojami raketų balistikoje. Tai parodyta darbe „Kaip sumažinti kompiuterinį skaičiavimo laiką bent 5 kartus, kai skaičiuojami kosminės mechanikos uždaviniai“.

Matematine prasme, labai sudėtingi matematiniai modeliai naudojami kosminėje navigacijoje bei geodezijos moksluose.

Antras uždavinys. Paimkime vieną, palyginti mažą uždavinį iš geodezijos. Geodezijos moksluose yra suformuoti šeši pagrindiniai uždaviniai: trys pagrindiniai ir trys atvirkštiniai. Tai matematiniai modeliai, kurie suformuoti sferinės trigonometrijos lygčių sistemos pagrindu. Paimkime viena iš jų. Duoti trys kampai : φ1 , σ, α1. Reikia surasti kampą λ. Pasinaudojus sferinės trigonometrijos lygčių sistema, galima gauti

Kadangi kampai paprastai duodami laipsniais, minutėmis ir sekundėmis, tai pradžioje reikia persiskaičiuoti tai į laipsnius ir jo dešimtaines dalis, o pasinaudojus (2), gauti kampų dydžius, išreikštus radianais. Po to, pasinaudojus begalinių eilučių metodu, reikia skaičiuoti sin, cos, atan reikšmes. Iš (7) gausime atsakymą.

Knygoje Donaldas Zanevičius h-geometry. Neo-sines in space mechanics. Vilnius 2010 „RDI grupė“ pateikiama sferinės trigonometrijos lygčių sistema, suformuota h-geometrijos funkcijų sph, cph ir tph pagrindu. Jeigu dirbame h parametrų sistemoje, tai vietoje (7) galėsime parašyti

Palyginus su (7), modelis (8), (9) yra algebrinės funkcijos, ir skaičiavimo technologijų prasme yra žymiai paprastesnis.

Kita ne mažiau aktuali problema kosminėje geodezijoje yra koordinačių perskaičiavimas.

Čia taip pat gali būti naudojami h-geometrijos matematiniai modeliai (Donaldas Zanevičius, Faustas Keršys – Geodezinių koordinačių perskaičiavimo technologijos taikant h-geometrijos funkcijas. „Geodezija ir kartografija“ v.36 Nr.4 2010m. VGTU).

Jau iš pateiktos medžiagos galima padaryti išvadą, kad kai kuriuos uždavinius, kuriuose yra transcendentinės sinuso, kosinuso ir tangento funkcijos, naudingiau spręsti perėjus nuo α sistemos (kur kampai matuojami laipsniais-radianais) prie h sistemos (h-geometrijos metodų).

Dr. Donaldas Zanevičius

Komentarai (22)