Ar 0,99999... yra lygu vienetui?

Gal kiek "suchatūrintas" įrodymas: 1 = lim 1, n -> inf = lim 3/3, n -> inf = lim ( 2/3 + 1/3), n -> inf = lim 2/3, n -> inf + lim 1/3, n-> inf = 0.6... + 0.3... = 0.9... Trūksta įrodymo, kad 0.6... + 0.3... = 0.9... , bet yra tokia teorema, berods Rymano, kuri sako, kad absoliučiai konverguojančias eilutes galima perstatinėti ir sumuoti tarpusavyje. Gal dar gali kilti abejonių dėl šitų eilučių absoliutaus konvergavimo, bet tingiu įrodinėti tokį elementarų dalyką.

1/3 nelygu 0,333, nes 0,333 yra lygu 333/1000, bet 1/3 yra lygu 0,333... , čia yra tik kitas žymėjimas vietoj "lim". 0,333... yra žymima geometrinės progresijos suma, arba kitaip sakant dalinių sumų sekos riba. Tiesiog painiojate dalines sumas su dalinių sumų sekos riba. Jeigu suma egzistuoja, tai yra vienareikšmiška, čia dar mačiau painiojate su artėjimu iš kairės/dešinės. Kairės/Dešinės riba visuomet sutampa, kai riba egzistuoja, nesvarbu iš kurios pusės artėjama, ar iš vienos pusės visai nebandoma artėti, šitos savokas daugiau naudojamos kartu su realių funkcijų tolydumu, geometrinės progresijos sumai tai nėra svarbu, nors galima sugalvoti tokią seką, kurios sumos artėtų prie ribos iš abiejų pusių, galima imti absoliučiai konverguojančią eilutę su priešingu ženklu ir perstatin4ti narius, suma artės prie nulio iš abiejų pusių, absoliučiai konverguojančias eilutes galima perstatinėti kaip tik nori, pagal Rymaną nuo to suma nekinta. Šitie dalykai yra labai reikalingi sudėtingiems atvejams, bet geometrinės progresijos suma nėra toks atvejis, čia viskas paprasta, 1 ir 0,999... tėra skirtingi to paties skaičiaus žymėjimai, nors galima paiškiti ir per eilutes dėl ko toks žymėjimas yra pagrįstas ir absoliučiai teisingas, berods mokykloje irgi kažką dėsto apie ribas, nepamenu, bet pamenu, kad man vaikystėje irgi šitas reikalas su ribom atrodė visiškai nesuprantamas ir kažkoks kurjoziškas. Atsiverskit mokyklos vadovėlius, ten kažkur ties geometrinėm progresijom, ten bus viskas paaiškinta. Radau per google, kad mokykloje šitas uždavinys vadinasi "Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos vertimas paprastąja", visos begalinės periodinės dešimtainės trupmenos pasiverčia į paprastą, jeigu norite įrodyti, kad 0,999... nelygu vienam, tai galite pabandyti surasti kitą skaičių, mokyklinis uždavinys, nereikia čia jokios filosofijos. Wikipedija gali padėti, jeigu mokate angliškai, lietuviškai nerandu http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number

[0;1) aibeje nera didziausio, gali paimt kaip nori artima vienetui, bet visada bus artimesnis. 1 sitai aibei nepriklauso, kaip ir 0.(9), nes 0.(9)=1. pi nera lygu 3.14. o 0.(9) yra lygu 1. o tas uzrasas 1-0 arba 1+0, tai tik parodo is kurios puses riba.

Čia dar radau įrodymą, kurį tingėjau rašyti, kad visos periodinės trupmenos yra racionalūs skaičiai (išreiškiami dviejų sveikų skaičių santykiu) http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_ex ... sentations . Tai, gal suraskit tuos skaičius ? Aš jau radau, kad 1/1 ir 3/3 tinka, o gal net galite surasti tokių, kurių santykis nelygus vienetui, bet dešimtainė išraiška yra 0,999... Gausit Nobelio premiją, paneigtumėt viską kas priklauso nuo ribinio skaičiavimo, įskaitant integralus ir dif lygtis su visom fizikom ir kitais gamtos mokslais, ten ji irgi pagrįsta ribiniu skaičiavimu nors lygtai už matematinius uždavinius nedalina Čia dar plačiau nušviesta periodinių trupmenų "dialėma" http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal , pavyzdyje yra ir šitas atvejis, tik dar bendresnis, su bet kokiu periodu.

Galim, lažintis. Aš status, kad oGGis, teisus. Kas pralošia, turės išversti wikipedia įrodymą į lietuvių kalbą, kuriu galiu rasti per kelias sekundes, praplėsim wikipedia lietuviškais vertimais

elektrikas teisingai sako, visos periodines trupmenos yra racionalus skaiciai. wikipedijoj taip raso, tai gal taip ir yra. 0.(9) kitaip nezurasysi, tik 1/1 ar 2/2. gi nebus 9999../1000..

Apie skaitinę vertę ginčikyties kiek norit. Taip, .

tokiais tempais 2x2=3 Jei 1/3=0.(3) ir 2/3=0,(6) Tai 0,(3)+0,(6) = 1 Bet 0,3333.. nera tas pats dydis kas 0,(3), nes 0,333.. - realiai suvokimas skaiciu, o 0,(3) - matematine konstanta, praktikai net ne skaicius, o dydis. Is tos klaidos 1=0,999... puciasi monetarines politikos burbulas, kur pasiskolintus pinigus reikia grazinti, bet dar kazka prideti kaip palukanas praktiskai nieko nepridedant; taip nuo operaciju skaiciaus burbulas vis puciasi, pernai jau buvo sproges, bet panasu, kad papuole i dar didesnio apvalkala

Tai, kad mes nieko neišvedžiojam, o išvedam. Matematikoje išvedimas vadinasi įrodymu ir kas yra įrodoma, tas nepaneigiama, toks jau mokslas ta matematika,sunku su ja pasiginčyti. Ar tau kyla abejonių dėl pateikto įrodymo ? Patarčiau pasikartoti mokyklos kursą prieš šnekant apie stygų teorijas, nerimtai atrodo, nes be šitos lygybės "neveikia" ir stygų teorija. Pagal jus gautusi, kad šios geometrinės progresijos suma neegzistuoja (dalinių sumų sekos riba) nes periodinė trupmena yra racionalus skaičius, bet iš kitos pusės racionalių skaičių aibėje atseit jos nėra. Prašom raskit kitus du sveikus skaičius, kurie tenkintų jūsų lygybę, pakartosiu, kad tai yra mokyklos uždavinys "dešimtainių periodinių trupmenų vertimas paprastosiomis", kai išspręsti šį uždavinį, tada galėsim pakalbėti ir apie stygų teoriją. Tai ką rašai lim 0,(9) yra "sviestas sviestuotas" nes tuo skliaustu tiesiog pakeičiamas "lim", kitoks žymėjimas, kad moksleiviams aiškiau būtų. Yra ir daugiau ribos žymėjimo būdų, wikipedijoje yra surašyti populiariausi, su brūkšneliais ir taškiukais. Angliškai tai vadinasi "Notation" http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal#Notation

? Koks tuomet didžiausias pirmo intervalo elementas? Got the point?

rwc yra paprasti irodymai, o tu gincijies nznia del ko, beto tavo poste daug nesamoniu. lim0.(9)=0.(9)=1, nes net nera jokio n. 147147(147)/1000000(000) tokiu skaiciu isvis nera, dalini begalybe is begalybes ko daryti negalima.. jei gali uzrasyti skaiciu trupmena, jis yra racionalus. visos periodines trupmenos yra racionalus skaiciai. pvz pi nera racionalus, nes neuzrasysi trupmena. o apie intervalus irgi nesamoniu prirasei. 0.(9)=1, o tos [0;1) aibes didziausio nera, nors tau kazkodel labai reikia kad butu. beto 0.(0)1 = 0. jei nuliu begalybe, tai kaip dar gali but kasnors uz tu 0? gi nuliai nesibaigia.

be to fraktalu ir hilberto kreiviu gali ir nekist cia, toks jausmas kad nori labai protingu pasirodyt, o kad cia tai visai ne prie ko tai nesvarbu..

Gotcha. Atmeti įrankį ir nebesuvoki elementarios, bet labai naudingos sąvokos. Jei a=1/3 b, tai a/b = 3, tai na/nb = 3. Kam lygu lim(n->inf) (a/10^n) / (b/10^n) ? nesvarbu, kiek nulių įrašysi tarp kablelio ir a bei b - jų santykis visada tas pats. Be šitos elementarios savybės, neveiktų l'Hôpitalio taisyklė ir apskritai išvestinės. Ją anksčiau ar vėliau reiktų išrasti. Jei vietoj visų nykstamai mažų skaičių galėtume laisvai įrašyti nulius, tai matematika ir fizika dar dabar trypčiotų penkioliktam amžiuje. Čia kaip ir kompleksiniai skaičiai, Rymano sferos - jei tau to nereikia, tai nenaudok. Kažkam reikia, ir kažkas tai pritaiko labai naudingai - pvz., jei nebūtų kompleksinių skaičių, tai elektromagnetizmo, Maksvelio ir t.t. lygtys būtų sunkiai suvokiamos. Ar tai reiškia, kad gali "pačiupinėti 10i obuolių"? Ne, tai tik matematinis įrankis.

Beje, ar skaičius 0.(99999)8(00000)1 = 1? Čia turiu omeny skaičių, kur 9-tų ir 0-lių po lygiai. Tuomet kam lygu 0.(9) - 0.(9)² ? Nesunkiai galima įrodyti, kad neišsiprastina iki 0. Arba kam lygu (1 - 0.99999...) × 10^n (čia devynetų - n)? Nulis? Ne, vienas! Dabar įsivaizduok, kad viską skaičiuoji ne tiesinėje, o eksponentinėje arba logaritminėje skalėje (kur sandauga tampa sudėtimi, o kėlimas laipsniu - daugyba). Arba statistikoje - skaičiuojant faktorialus - kur išprastini didžiausius elementus... Lyg ir įgauna prasmę?

kaip tu gali sakyt po lygiai, jei tu skaiciu be galo daug? lygus gali but du skaiciai, bet ne dvi begalybes. o tas n pas tave baigtinis skaicius, kas nera begalybe.. o jei n begalybe, tai su begalybe tokiu veiksmu atlikti negalima

nėra fiksuoto elemento 0.(9) - ribos iš vienos pusės, yra tik dviem ribom apibrėžtas elementas 1. Kaip ir realiųjų skaičių aibėje nėra ribos iš vienos pusės - +inf.

begalybe yra begalybe, negali but viena begalybe ir kita begalybe. 99999...=11111... nes ir ten begalybe ir ten. 9999... ir 111... nera skaiciai. pats tas tavo zenono paradoksas parodo, kad visgi po begalybes kartu pasivys. kas ir ivyksta realiai. begalybe kartu po puse ir pasiveji. tai vadinas 0.(9), begalybe 9etu ir jau vienetas. o salygoj pasakyta kad tu 9etu yra begalybe. jeigu n imi kaip laika, realiai nepasivys, nes realybej begalybes sekundziu turbut neegzistuoja. nors ir sito negali zinot. pagyvenk begalybe sekundziu, gal pasivys, paziuresim. 0.(9) yra skaicius, tiesiog begalybe skaiciu po kalbelio. jis yra tarp [0;2] o begalybe nera skaicius. nes begalybes net nera skaiciu eilutej.. nera didziausio skaiciaus, visada bus didesnis. lygiai kaip tu nori[0;1) surast didziausia, tai lygiai taip pat tu gali surast ir isvis pati didziausia skaiciu apskritai.. 2x/x = 2 tik tada kai x nelygu 0. ten su tai sinusais, jei x=0 funkcija neturi reiksmes. kai x->0 tai ok, su lim galima skaiciuot. bet kai x=0 tada negalima. is 0 dalyba negalima. niekaip ir niekada

dar apie ta zenono paradoksa. tarkim vezlio greitis 1m/s. zmogaus 2m/s, tarpas 2m. reik suskaiciuot kada pasivys? t=s/(v2-v1)= 2/(2-1) = 2s o dabar anuo budu: t=(s/2)/(v2-v1) + (s/4) / (v2-v1) + (s/8 )/(v2-v1) + (s/16)/(v2-v1)+...+(s/(gmf)/(v2-v1)+..+..+..+.. = (s/2+s/4+s(gpf)+..+..)/(v2-v1) gpf->geometrines progresijos formule galim sulygint abu t. s/(v2-v1)=(s/2+s/4+..+s/(gpf)+..+..)(v2-v1) s=(s/2+s/4+..+s/(gpf)+..+..)=2; kas reiskia, kad po begalybes pusiu visgi pasivys. kuo daugiau nariu toj progresijoj, tuo labiau gauni 1.(9); o kai tu nariu begalybe, tada gauni tiksliai 1.(9), kas yra lygu 2.

nulis - ne lygus skaičius, o tapati funkcija. Praktinis įrodymas: sin(x) yra netrūki funkcija, x - irgi apibrėžtas visoje realiųjų skaičių aibėje. Braižydamas grafiką y=sin(x) juk nenutrauki linijos taške (0,0)? O pagal tave, turėtum taip daryti, nes tame taške neegzistuotų liestinė. Beje, liestinė egzistuoja, nes kitaip nebūtų sin visur diferencijuojamas - cos tame taške siektų begalybę, o kaip žinome, sin(x)/dx = cos(x); sin(x)/dx |0 = cos(0) = 1. Ir čia ne šiaip vienetas - o ta pati tiksli ir vienintelė konstanta, vadinama ekvivalentumo elementu.

Jeigu būti visai tiksliam, tai nebūtinai riba iš kairės ir iš dešinės sutampa pvz.: http://en.wikipedia.org/wiki/One-sided_limit#Examples , šita savoka naudojama funkcijų tolydume/netolydume, paprasčiausias pavyzdys yra funkcija sign taške 0. Eilutėms tai nėra aktualu, bet galima įrodyti, kad geometrinės progresijos suma turi ribą ir abiejų pusių, tiesiog pakanka perstatinėti narius sumuojant su priešingo ženklo eilute, šitą galima daryti nes geometrinė progresija konverguoja absoliučiai (nevisas eilutes galima perstatinėti). Įrodyme, kad 1 = 0,9... irgi galima šituo pasinaudoti, bet galima ir paprasčiau, nuorodoje čia yra kitas įrodymas su eilutėmis, kuris tinka ir periodinėms dešimtainėms trupmenoms http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_ ... ric_series .