„Ne­ži­nan­tys is­to­ri­jos, pa­smerk­ti ją pa­kar­to­ti.“ Dau­ge­lio gir­dė­tą (ir is­to­ri­jos mo­ky­to­jų my­li­mą) po­sa­kį vie­naip ar ki­tai­p yra iš­ta­rę įvai­riau­sių laik­me­čių is­to­ri­kai ir fi­lo­so­fai. Is­to­rijos kartojimosi įžvalgos užrašymas dažnai priskiriamas airių filosofui Edmundui Berkui (XVIII a.), bet apie istorijos cikliškumą galvota dar antikos laikais. Juk tokia žavinga mintis – galėti numatyti ateitį. Ir ne tik žavinga, bet ir potencialiai naudinga. Ypač, kai kalba pasisuka apie ekonomiką.

Tačiau ne viskas taip paprasta, kaip sufleruoja skambioji frazė. Vien žinojimo tikrai neužtenka. Mintinai iškalti istoriniai faktai tiek pat naudingi, kaip ir mintinai išmoktos matematikos ar fizikos formulės. Vienam kontroliniam darbui ar egzaminui tai gal ir padės, tačiau laikui bėgant (dažnai pakanka išeiti už klasės ar auditorijos durų), toks „žinojimas“ išgaruos. Išlikti gali tik suvokimas. O norint ką nors suvokti – formulę, įvykį ar gyvenimo prasmę, – reikia rasti atsakymą į klausimą „kodėl?“. Kitaip tariant, faktai patys savaime nėra tokie svarbūs, kaip gebėjimas rasti konkretaus įvykio ar formulės priežastį. Vystant šį priežastingumo suvokimą, vystosi ir intuicija, galinti padėti realiame gyvenime.

Šiame tekste neieškosime įvykių pasikartojimų – įvykiai tikrai kartosis. Nebus ir universalaus recepto kaip 10 % padidinti savo piniginės storį – ekonomika nėra tokia jau paprasta sistema. Šio teksto tikslas – savu protu pačiupinėti fundamentalias cikliškumo priežastis žaisliniuose modeliuose ir pabandyti įžvelgti ekologinių sistemų ir ekonomikos modelių paraleles.

Maltuso demografijos dėsningumai

1798 metais anglų pastorius, laisvu laiku nagrinėjęs žemiškesnes, ekonomikos problemas, Tomas Maltusas išleido knygą „Gyventojų raidos principai.“ Šiame darbe Maltusas pastebi dvi nerimą keliančias tendencijas – žmonių daugėja geometrine progresija, o resursai auga, geriausiu atveju, aritmetine progresija. Iš čia nesunku prognozuoti katastrofą, nes geometrinė progresija didėja sparčiau už aritmetinę. Taigi, anksčiau ar vėliau, žmonėms išteklių nebeužteks ir užgrius nepriteklius, skurdas, badas ir visokiausios kitos negandos.

Maltuso pastebėjimą dėl žmonių skaičiaus augimo galima būtų suformuluoti taip – žmonių skaičiaus pokytis per tam tikrą laiką yra proporcingas esamam žmonių skaičiui, arba:

Toks užrašymas, kaip ir pats pastebėjimas, yra gana natūralus, nes kuo daugiau žmonių, tuo daugiau naujų gimsta ir miršta. Proporcingumo koeficientas, a, šioje lygtyje nusako, kuris procesas spartesnis – gimimo (a>0) ar mirimo (a<0). Taigi, jei Maltusas teisus, žmonių skaičius kis pagal eksponentinį dėsnį:

Gerai žinome, kad žmonių skaičius auga (taigi a>0), tad kodėl per pastaruosius du amžius kilo keletas gana didelių ekonominių krizių, bet nei vienos iš tiesų didelio masto ekonominės katastrofos?

Dar Maltuso laikais buvo abejojama ar tikrai resursų augimas yra toks lėtas. Dalis oponentų ginčijo ir teigė, kad žmonijos ištekliai neriboti, o gebėjimas juos išgauti keičiasi, priklausomai nuo poreikio. Dažnai staigiais proveržiais – pvz., industrinė revoliucija.

Taip pat galima būtų tarti, kad žmonių skaičius prisitaiko prie turimų resursų. Kitaip tariant, ankstesnės lygties proporcingumo koeficientas nėra pastovus – jis yra žmonių skaičiaus funkcija. Tokiu atveju žmonių skaičiaus pokytis per tam tikrą laiką būtų aprašomas sudėtingiau,

Šiuo atveju, N vėlgi kis pagal eksponentinį dėsnį, tačiau ties tam tikra riba augimas sustos:

Ribą, kurią pasieks N, nusako b, gimstamumo ar mirtingumo, parametro ir c parametro santykis. Atkreipkite dėmesį, kad c=0 atveju N(t) kitimas lieka nepakitęs (lyginant su ankstesne lygtimi) – žmonių skaičius auga pagal eksponentinį dėsnį į begalybę.

Auka ir plėšrūnas

Akivaizdu, kad šie bendri apmąstymai galioja ne tik žmonėms, bet ir kitų rūšių individams. O šie ekologinėse sistemose sąveikauja žymiai turiningiau nei žmonės. Gamtoje dėl tų pačių baigtinių išteklių konkuruoja augalai ir gyvūnai. Grobio-plėšrūno santykiai irgi nėra retenybė.

Pabrėžtina, kad aptartieji demografiniai dėsningumai galios tiek grobiui, tiek plėšrūnams. Paprastumo dėlei tarsime, kad grobio gimstamumo sparta pastovi, o natūralus mirtingumas – nykstamai mažas. Pirmoji prielaida reiškia, kad grobio maisto šaltinis neribotas, o antroji prielaida liudija grobio ilgaamžiškumą – jeigu nebūtų plėšrūno, jis gyventų amžinai. Prielaida regis, švelniai tariant, netiksli, bet gamtoje plėšrūnai dažnai aukas medžioja žymiai sparčiau negu šios spėja numirti dėl kitų priežasčių. Taip pat padarykime prielaidą, kad plėšrūnai atsiveda palikuonis tik tuo atveju, jei jaučiasi stiprūs ir sotūs. Kitaip tariant, plėšrūnai negimsta „savaime.“ Tokiu atveju:

Šiose Lotka-Volterra lygtyse, visi parametrai turėtų būti teigiami – g_a nusako grobio gimimo spartą, s_ap nusako kiek smarkiai nukenčia grobis nuo plėšrūnų, m_p – plėšrūnų mirimo sparta, s_pa yra plėšrūnų iš grobio gaunama nauda. Iš šių lygčių matome, kad grobio efektyvi gimstamumo sparta (skliausteliuose pirmos lygties dešinėje lygybės pusėje) mažėja, gausėjant plėšrūnų, P. Atitinkamai, efektyvi plėšrūnų gimstamumo (skliausteliuose antros lygties dešinėje lygybės pusėje) sparta didėja, daugėjant jo aukų skaičiui, A.

Grobio ir plėšrūnų skaičiaus priklausomybė nuo laiko šį kartą žymiai sudėtingesnė, tad patogiau lygtis spręsti skaitmeniškai. Žemiau pateikiame programėlę, kuria siūlome įsitikinti, kad sprendiniai turi ciklišką pobūdį. Be jau minėtų parametrų programėlėje turėsite pasirinkti stebėjimo laiką, t_max.

Aukų ir plėšrūnų gimstamumo modelis

Komentarai ()